信息表示和处理 from computer system chapter 2

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1、整数的表示 大部分（所有？）机器 有符号数是补码表示。

2、整数的运算。+ -就是+-，按位加减，注意有符号和无符号的数值溢出，*/ 可以转换成移位等 同样是有位的截断，可以先十进制计算换成2进制再截断。

3、实际上是一种模运算，注意字长导致截断。

4、浮点数的表示：

单精度为例：32位，1位的符号位，8位指数位（无符号 书上说的实际值是他-127即范围是-127-128，网上是错的-128-127），23位的尾数，因为尾数小数点前是1，所以省略，计算时加1.

无穷和除 NaN 以外的其它浮点数一样是有序的，从小到大依次为负无穷，负的有穷非零值，正负零（随后介绍），正的有穷非零值以及正无穷。除 NaN 以外的任何非零值除以零，结果都将是无穷，而符号则由作为除数的零的符号决定。

回顾我们对 NaN 的介绍，当零除以零时得到的结果不是无穷而是 NaN 。原因不难理解，当除数和被除数都逼近于零时，其商可能为任何值，所以 IEEE 标准决定此时用 NaN 作为商比较合适。

5、特殊值：我们已经知道，指数域实际可以表达的指数值的范围为 -127 到 128 之间（包含两端）。其中，值 -127（保存为 全 0）以及 +128（保存为全 1）保留用作特殊值的处理。

6、非规范化数

我们来考察浮点数的一个特殊情况。选择两个绝对值极小的浮点数，以单精度的二进制浮点数为例，比如 1.001 × 2^-125 和 1.0001 × 2^-125 这两个数（分别对应于十进制的 2.6448623 × 10^-38 和 2.4979255 × 10^-38）。显然，他们都是普通的浮点数（指数为 -125，大于允许的最小值 -126；尾数更没问题），按照 IEEE 754 可以分别保存为 00000001000100000000000000000000（0x1100000）和 00000001000010000000000000000000（0x1080000）。

现在我们看看这两个浮点数的差值。不难得出，该差值为 0.0001 × 2^-125，表达为规范浮点数则为 1.0 × 2^-129。问题在于其指数大于允许的最小指数值，所以无法保存为规范浮点数。最终，只能近似为零（Flush to Zero）。这中特殊情况意味着下面本来十分可靠的代码也可能出现问题：

if (x != y) {
 z = 1 / (x -y);
}

正如我们精心选择的两个浮点数展现的问题一样，即使 x 不等于 y，x 和 y 的差值仍然可能绝对值过小，而近似为零，导致除以 0 的情况发生。

为了解决此类问题，IEEE 标准中引入了非规范（Denormalized）浮点数。规定当浮点数的指数为允许的最小指数值，即 e_min 时，尾数不必是规范化的。比如上面例子中的差值可以表达为非规范的浮点数 0.001 × 2^-126，其中指数 -126 等于 e_min。注意，这里规定的是"不必"，这也就意味着"可以"。当浮点数实际的指数为 e_min，且指数域也为 e_min 时，该浮点数仍是规范的，也就是说，保存时隐含着一个隐藏的尾数位。为了保存非规范浮点数，IEEE 标准采用了类似处理特殊值零时所采用的办法，即用特殊的指数域值 e_min - 1 加以标记，当然，此时的尾数域不能为零。这样，例子中的差值可以保存为 00000000000100000000000000000000（0x100000），没有隐含的尾数位。

7、有符号的零

因为 IEEE 标准的浮点数格式中，小数点左侧的 1 是隐藏的，而零显然需要尾数必须是零。所以，零也就无法直接用这种格式表达而只能特殊处理。

实际上，零保存为尾数域为全为 0，指数域为 e_min - 1 = -127，也就是说指数域也全为 0。考虑到符号域的作用，所以存在着两个零，即 +0 和 -0。不同于正负无穷之间是有序的，IEEE 标准规定正负零是相等的。

零有正负之分，的确非常容易让人困惑。这一点是基于数值分析的多种考虑，经利弊权衡后形成的结果。有符号的零可以避免运算中，特别是涉及无穷的运算中，符号信息的丢失。举例而言，如果零无符号，则等式 1/(1/x) = x 当x = ±∞ 时不再成立。原因是如果零无符号，1 和正负无穷的比值为同一个零，然后 1 与 0 的比值为正无穷，符号没有了。解决这个问题，除非无穷也没有符号。但是无穷的符号表达了上溢发生在数轴的哪一侧，这个信息显然是不能不要的。零有符号也造成了其它问题，比如当 x=y 时，等式1/x = 1/y 在 x 和 y 分别为 +0 和 -0 时，两端分别为正无穷和负无穷而不再成立。当然，解决这个问题的另一个思路是和无穷一样，规定零也是有序的。但是，如果零是有序的，则即使 if (x==0) 这样简单的判断也由于 x 可能是 ±0 而变得不确定了。两害取其轻者，零还是无序的好。

8、NaN

NaN 用于处理计算中出现的错误情况，比如 0.0 除以 0.0 或者求负数的平方根。对于单精度浮点数，NaN 表示为指数为 e_max + 1 = 128（指数域全为 1），且尾数域不等于零的浮点数。IEEE 标准没有要求具体的尾数域，所以 NaN 实际上不是一个，而是一族。

9、无穷

和 NaN 一样，特殊值无穷（Infinity）的指数部分同样为 e_max + 1 = 128，不过无穷的尾数域必须为零。无穷用于表达计算中产生的上溢（Overflow）问题。比如两个极大的数相乘时，尽管两个操作数本身可以用保存为浮点数，但其结果可能大到无法保存为浮点数，而必须进行舍入。根据 IEEE 标准，此时不是将结果舍入为可以保存的最大的浮点数（因为这个数可能离实际的结果相差太远而毫无意义），而是将其舍入为无穷。对于负数结果也是如此，只不过此时舍入为负无穷，也就是说符号域为 1 的无穷。

 10、尾数域为不全为 0 e_min - 1 = -127，指数域全为 0，不存在，因为可以用非规范的表示。    我的理解。

11、浮点数的计算：这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

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http://baike.baidu.com/view/339796.htm

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