题意：每包里面最多只有一张卡片（可能没有），要集齐n张不同的卡片（1<=n<=20)

问集齐n张卡片要买的包数期望。

算法：

1、 期望公式 ：E=sum(xi*pi)。等于某一件事件的 状态 *它发生的概率。

在高中课本里就是列个分布列然后求期望。

我们用二进制枚举卡片表示各个状态。1表示已经集齐，0表示还没有。

从末态倒推到起始状态。

这里我们看每个状态是可能由哪个状态转移而来，乘以这个转移事件发生的概率

就是当前状态得到的期望了。

要注意的是这个转移事件发生的概率的理解：

它不是输入的那个概率，而是当前可以发生的转移中正在计算的转移所占的概率。

即如果当前状态能够从n种状态转移得来，则第i种发生的概率为pi/sum(p1....pn) ，其中sum(p1...pn)

p1...pn只是m个事件的子集（可以等于）

这就是为什么要除以能发生转移的概率和的原因。也是我高中学期望的时候老是出错的地方。

2、 容斥原理 ：

容斥原理中奇加偶减

 ，比如：

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素

个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B) 

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类

元素个数+C类元 素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类

又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

然后我们知道如果一件事发生的概率为pi，那么第一次发生这件事次数期望为1/pi。

同理，a和b这两件事发生的概率为p1,p2，则第一次发生某一件事发生的次数期望为1/p1+p2

如果一个事件发生的概率为p, 那么它第一次发生时的次数期望就是1/p

    1:     1/p 

    2:    (1-p)*p

    3:    (1-p)^2*p

    ......

    n:    (1-p)^(n-1)*p

    以上求和，用错位相消的方法求出 E = 1/p

    类似的，我们可以得出 如果两个事件发生的概率分别为p1,p2, 那么

    第一次发生其中的某一件的次数期望就是1/(p1+p2)。

    根据这个结论我们就可以用容斥原理来做这题了。

#include<stdio.h>
double f[20];
int main()
{
  int n,j,cnt,i;
   double sum,ans;
  while(~scanf("%d",&n))
  {
       ans=0;
     for(i=1;i<=n;i++)
       scanf("%lf",&f[i]);
     for(i=1;i<1<<n;i++)
     {
           cnt=0;
           sum=0;
         for(j=1;j<=n;j++)
         {
           if(i&1<<(j-1))
              {
                  sum+=f[j];
                   cnt++;
              }
         }
         if(cnt%2==1)
            ans+=1.0/sum;
         else
           ans-=1.0/sum;
    }
     printf("%lf\n",ans);
  }
  return 0;
}

状态压缩：

#include<cstdio>
#include<cstring>

double dp[1<<20],p[22];

int main()
{
    int n,tot;
    double tmp;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lf",&p[i]);
        tot=(1<<n)-1;
        dp[tot]=0.0;
        for(int s=tot-1;s>=0;s--)
        {
            dp[s]=1;
            tmp=0.0;
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                if(s&(1<<j)) continue;
                dp[s]+=dp[s|(1<<j)]*p[j];
                tmp+=p[j];
            }
            dp[s]/=tmp;
        }
        printf("%lf\n",dp[0]);
    }
    return 0;
}