从几何角度切入最近邻

我们可以将预测任务看成是将一些输入映射成输出的过程。将输入分解成一系列特征集合，来形成对学习有用的抽象，因此，输入就是一系列特征值。我们从几何学的角度来看待这些数据，每一个特征是空间中的一个维度，因此每个数据点可以映射成高维空间中的点。

把数据集看作是高维空间中的点之后，我们可以在这些点上进行几何运算。比如，假如你想预测同学A是否会喜欢算法这门课程，我们可以找一位与同学A相似的同学B，假如同学B喜欢算法这门课程，那么我们可以猜测同学A很可能也会喜欢算法这门课程，这就是最近邻模型学习的一个例子。

对我们人来说，每个特征有其固有的意义，但是对机器来说，它们并不知道这些特征代表了什么含义，我们输入给机器的只是一系列的数字（特征值）而已，所以我们可以把每条数据看成是一个特征向量，每个维度是一个特征，每个特征是一个实数。

K近邻

在向量空间中，我们可以进行的最基本的运算就是计算距离。在二维空间中，计算向量<2,3>和<6,1>之间的距离为$\sqrt{(2-6)^2+(3-1)^2} = \sqrt{18} \approx 4.24$。在D维空间中，两个向量a，b的欧几里得距离（Euclidean distance）计算方式为：

$$d(a,b)=[\sum_{d=1}^D(a_d-b_d)^2]^{\frac{1}{2}}$$

现在我们有一堆训练数据点，包含正负样本，并提供一个测试数据点，要你猜测它是正样本还是负样本。你可能会看看这个点靠近的数据点都是些什么样本，如果大部分是正样本，那么你会认为这个测试数据点也属于正样本，这就叫做归纳偏置。

最近邻分类器就是使用了这种思想，这种算法非常简单。比如现在需要预测样本$\hat{x}$的类别，我们可以从训练数据中找到一个与$\hat{x}$相似的样本$x$ ,它使得$x$ 与$\hat{x}$之间的距离$d(x,\hat{x})$ 最小。因为$x$是训练数据，所以它的类别$y$是已知的，因此我们预测样本$\hat{x}$的类别也是$y$。

但是这么做会带来一个问题，它很容易过拟合类别噪声。考虑下面这样一种情况，如果一个待测点最近的一个点是正样本，通过上面的方式，这个待测点将会被预测成正样本，但是如果这个待测点周围的负样本更多呢？所以上面那种方式没有考虑到周围类别占多数的数据点，所以这样的预测方式是不准确的。

为解决上面的问题，我们可以这样来做，不只是单单考虑一个最近的点，而是考虑最近的K个点，然后进行分类决策，通过投票的方式来决定待测点的类别，下面通过伪代码的方式来说明：

KNN-PREDICT(D,K,xHat)
S <- []
for n = 1 to N do
    s <- s + <d(xn, xHat), n>       //存储与第n个样本的距离
end for
S <- SORT(S)                        //排序，将最近的放在前面
yHat <- 0
for k = 1 to K do
    <dist, n> <- Sk                 //n是第k个最近的数据点
    yHat <- yHat + yn               //用第n个数据点的类别进行投票
end for
return SIGN(yHat)                   //如果yHat > 0 返回1，否则返回-1

首先计算出待测点到所有训练数据点的距离。然后根据距离将训练数据点升序排序。然后针对前K个数据点，将它们的标签（正样本为+1，负样本为-1）相加，如果它大于0，说明K个数据点钟正样本占多数，那么我们预测，待测点为正样本。

现在又有新的问题了，我们如何选取K的值呢，我们可以看到，如果K=1，很容易过拟合，相反，如果K非常大（比如说K=N），那么KNN将总会预测出个数占多数的那个类，很明显这会造成欠拟合。所以在KNN算法中，K就是一个超参数，调整K的大小在过拟合（K值较小）和欠拟合（K值较大）之间做出权衡。

我们可以发现，KNN假设靠的近的点应该有同样的标签。另一方面，与决策树不同的是，在KNN中所有的特征都同等重要！在决策树中，最关键的问题就是决定哪些特征能够很好地进行分类？它会找到一组能够很好分类的特征子集。但是在KNN分类中并不会这么做：它会使用所有的特征，而且比重完全一样。换句话说，如果你的数据只有少数一些相关特征，大部分都是无关特征，KNN的分类效果就会比较差。KNN并不知道如何决策哪些特征更重要。

目前为止，我们使用查询模型（query model）的思维来看待学习算法的。在训练数据上学习到了某些东西，然后给出一个查询样本，需要猜测它的类别。而现在我们想要知道，对于一个模型，什么样的测试数据会被分类为正样本，什么样的会被分类成负样本。

我们可以这么想象，在正负样本的数据点之间，有一条线将两种样本分开，落在这条线一边的属于正样本（比如说），那么另一边就是负样本，我们可以将这条线称为决策边界。决策边界是可视化学习模型复杂度的有效方式。如果一个模型的决策边界参差不齐，犹如锯齿状（可以想象成我国省与省之间的边界线），那么这个模型非常复杂，容易过拟合。如果一个模型的决策边界相当简单（比如像美国大部分州与州之间那种直线边界），那么这个模型容易欠拟合。

K均值聚类

刚才我们讲述了最近邻在监督式学习方面的运用，现在来考虑一个非监督式学习问题。在非监督式学习中，数据只包含特征值，没有与之对应的标签，而你需要对这些数据进行聚类。

K均值聚类算法非常简单，并且能有效进行聚类。它的主要思想是，将每一个类（簇）用它的簇心来表示，有了这个簇心，我们就很容易将一个数据点分配给最近的那个簇。相似地，如果我们知道数据点属于哪个簇，我们很容易计算出簇心。这有点像是先有鸡还是先有蛋的问题，如果我们知道是哪个簇，我们可以计算簇心，而如果我们知道簇心，就能计算属于哪个簇。但是这两个我们都不知道。

我们会通过迭代的方式来解决这“先有鸡还是先有蛋”的问题。首先，我们随机猜测簇的簇心。基于这一猜想，我们将每个数据点分配给最近的那个簇心，现在每个簇都有一些数据点了，然后我们重新计算每个簇的簇心，循环往复这个过程，直到簇心不再移动或者收敛至某一范围。

K-Means
for k = 1 to K do
    uk <- some random location              //随机初始化k个簇心
end for
repeat
    for n = 1 to N do
        zn <- argmink||uk - xn||            //计算样本n最近的簇心
    end for
    for k = 1 to K do
        Xk <- {xn: zn = k}                  //属于簇k的数据点
        uk <- MEAN(Xk)                      //重新计算簇心
    end for
util us stop changing                       //直到簇心不再发生变化
return z                                    //返回属于哪个簇

那么，它会收敛吗？它收敛需要多少时间？

它是会收敛的，并且在实践过程中，它通常很快会收敛（通常在20次迭代以内），但是收敛需要多少时间呢？虽然K均值聚类算法可以追溯到50年代中期，最快的收敛速率花了相当长时间，这里的“相当”是指时间随数据点个数的增加呈指数形式增长。

要注意的是，虽然K均值保证会收敛并且会快速收敛，但并不能保证会收敛到“正确的结果”。而我们也没法知道什么是“正确的结果”。不好的初始化通常会让模型收敛至不良的结果。

维度灾难

在高维度空间下，我们很难将数据点可视化，要在脑海里想象更难，我也一直想象不出四维空间下的“立方体”是什么样的······抛开可视化不说，高维度下，在计算上和数学上都有困难。

从计算角度来看，如果数据集非常庞大，那么对于K近邻，预测的速度就会很慢。因为每次预测的时候都会考虑到所有的训练样本。想要加快速度，可以创建数据结构索引，将坐标空间分割成一个一个的网格，此时，当有测试数据时，能够很快定位它位于哪个网格，然后只需考虑这个网格内的数据点就行了（或者附近的网格），这可以减少许多计算量。

现在，我们假设每个特征值都在区间[0,1]内，在二维空间下，我们想把它分成0.2 * 0.2的小网格，因此只需5 * 5 = 25个网格，三维空间则要5 * 5 * 5 = 125个网格，四维空间则要625,20维空间（低维），我们需要5^20个网格（大约950万亿），所以，在20维空间下，你至少需要950万亿的训练数据，这种分网格方法才有效。

那么对于中维度（大约1000维）情况，网格的个数是9后面跟上698个0。而宇宙中原子的个数是1后面跟上80个0，所以即使我们的数据集有宇宙中原子个数那么多，要布满整个1000维空间也是远远不够的。那么高维（大约100000）情况下，至少要1后面跟上70000个0的数据点。即使对于一般高维度情况，这样的计算量也是相当庞大的。

除了高维空间下计算上的难度之外，在数学上也会出现很多奇怪的现象。我们在二维到三维空间的一些直觉感受在高维空间下并不适用。这里只考虑其中两种影响，1、高维空间里的球体更像是豪猪，而不是我们熟知的球形。2、高维空间下点之间的距离都大致一样。

首先我们从二维空间考虑，有四个圆两两相接触，半径为1，在这四个圆之间有一个内切圆，我们能够很简单地计算出这个内切圆的半径：$(1+r)^2 = 1^2 + 1^2$ => $r = \sqrt{2} - 1 \approx 0.41$

三维情况下，如图，这里就不画出球了，只给出左下角球的球心以及中间“内切球”的球心，可以计算出“内切球”的半径为$(1+r)^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2$ => $r = \sqrt{3} - 1 \approx 0.73$，这个球体仍处于外面8个球体所形成的立方体中。

现在考虑四维空间，那么会有$2^4 = 16$个这样的球体（超球体），半径为1，它们处于一个边长为4的超立方体中，由上面的推导可知，这16个超球体中的“内切超球体”的半径为$\sqrt{4} - 1 = 1$。5维空间中256个超球体的“内切超球体”的半径为$\sqrt{5} - 1 \approx 1.23$，以此类推。

总的来说，对于D维空间，我们将会有$2^D$个超球体，它们的“内切超球体”的半径为$\sqrt{D} - 1$，这个数值一直在增大，比如，在9维空间中，“内切超球体”的半径就是$\sqrt{9} - 1 = 2$，但是外面的那$2^9$个超球体的半径才是1，此时这个“内切超球体”是呈“挤压”状的，并且接触到了超立方体的边界。如果是10维空间，“内切超球体”的半径大约是2.16，它已经超出了超立方体（边长为4）。

这就是为什么在高维空间下，球体更像是豪猪，而不是二、三维下面规整的球形，因此在二、三维空间里你认为看着像“圆形”的簇，在高维空间下或许不那么像“圆形”。

现在来看看高维空间下数据点的距离问题，假设数据点一致地分布在单位超立方体中，数据点的平均距离为：

$$avgDist(D) = \frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N||d_i - d_j||}{N^2}$$ 当维度趋于正无穷时，数据点与数据点之间的平均距离趋于1。那么现在有人会说了，既然所有距离都差不多，那么KNN这种通过距离来分类的方式在高维空间下是不是不起作用了呢？答案是否定的，因为我们使用到的数据并不会一致地分布在单位超立方体之中。所以KNN还是可以起作用的，然而在高维空间下，我们大脑很难发挥想象。