信息熵 增益

解释一下，9/14是正例的个数与总记录之比，同样5/14是负例占总记录的比例。log(.)是以2为底的对数（我们知道以e为底的对数称为自然对数，记为ln(.),lg(.)表示以10为底的对数）。在Excel里我们可以随便找一个空白的单元格，键入以下公式即得0.940：

这里LOG(9/14,2)中的“2”表示以2为底。类似地，如果你习惯用Matlab做数学运算本，公式为

其中“2”的含义与上同。

总结：在这个例子中，我们的输出属性（我们要检查的属性）“play”只有两个取值，同样地，如果输出属性的取值大于2，公式是对成的，一样的形式，连加就是，找到各个取值的个数，求出各自的比例。如果样本具有二元输出属性，其熵的公式为

其中，p+、p-分别为正例和负例占总记录的比例。输出属性取值大于2的情况，公式是对称的。


2 分别以Wind、Humidity、Outlook和Temperature作为根节点，计算其信息增益


可以数得，属性Wind中取值为Weak的记录有Normal的记录有8条，其中正例6个，负例2个；同样，取值为Strong的记录6个，正例负例个3个。我们可以计算相应的熵为：

现在就可以计算出相应的信息增益了：

Gain(Wind)=Entropy(S)-(8/14)*Entropy(Weak)-(6/14)*Entropy(Strong)=0.940-(8/14)*0.811-(6/14)*1.0=0.048

这个公式的奥秘在于，8/14是属性Wind取值为Weak的个数占总记录的比例，同样6/14是其取值为Strong的记录个数与总记录数之比。

同理，如果以Humidity作为根节点：

以Outlook作为根节点：

Entropy(Sunny)=0.971 ; Entropy(Overcast)=0.0 ; Entropy(Rain)=0.971

Gain(Outlook)=0.940-(5/14)*Entropy(Sunny)-(4/14)*Entropy(Overcast)-(5/14)*Entropy(Rain)=0.247

以Temperature作为根节点：

Entropy(Cool)=0.811 ; Entropy(Hot)=1.0 ; Entropy(Mild)=0.918

Gain(Temperature)=0.940-(4/14)*Entropy(Cool)-(4/14)*Entropy(Hot)-(6/14)*Entropy(Mild)=0.029

这样我们就得到了以上四个属性相应的信息增益值：

Gain(Wind)=0.048 ；Gain(Humidity)=0.151 ； Gain(Outlook)=0.247 ；Gain(Temperature)=0.029

最后按照信息增益最大的原则选Outlook为根节点。子节点重复上面的步骤。