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题意：一个大小为 nn 的环，选 mm 个位置涂黑，要求相邻两个黑点之间至少间隔 kk 个白点，问方案数。
题解：考虑从 0 开始的标号最小的涂黑的位置，有两种情况：
如果该位置 \geq k≥k，相当于在一排（不是环） n - kn−k 个椅子里面放 mm 个人；
如果该位置 < k<k， 相当于在一排 n - 2k - 1n−2k−1 个椅子里面放 (m - 1)(m−1) 个人。这种情况有 k 种。
最后考虑在一排 nn 个椅子里面放 mm 个人的方案数，相当于要找 (m + 1)(m+1) 个变量满足 x_1 \geq 0, x_{2, 3, \ldots, m} \geq k + 1, x_{m + 1} \geq 1x?1??≥0,x?2,3,…,m??≥k+1,x?m+1??≥1 同时 x_1 + x_2 + \cdots + x_{m + 1} = nx?1??+x?2??+?+x?m+1??=n 的方案数。这个方案数就是 \binom{n - (m - 1)k}{m}(?m?n−(m−1)k??).
至于为什么是上述式子，其中 x_1x?1?? 表示的是 11 的下标，x_{2, 3, \ldots, m}x?2,3,…,m?? 表示的是每个人离前一个人的距离，最后的 x_{m + 1}x?m+1?? 是松弛变量。可以加加减减让大家的限制都变成 \geq 1≥1，就是熟悉的模型啦。
#include <map> #include <queue> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; long long a[1000005]; const long long mod=1000000007; long long quick(long long a,long long b) { long long ans=1; while(b) { if(b&1) { ans=ans*a%mod; b--; } b>>=1; a=a*a%mod; } return ans; } int main() { int T; long long i,n,m,k; a[1]=1; for(i=2; i<=1000000; i++) a[i]=(a[i-1]*i)%mod; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k); if(m==1) printf("%lld\n",n); else if(m+m*k>n) printf("0\n"); else if(m+m*k==n) printf("%lld\n",k+1); else { long long y=m-1; long long x=n-m*k-1; long long ans=a[x]*quick(a[x-y],mod-2)%mod*quick(a[y],mod-2)%mod; printf("%lld\n",n*ans%mod*quick(m,mod-2)%mod); } } return 0; }
HDU 5894 hannnnah_j’s Biological Test (组合数学) -2016 ICPC沈阳赛区网络赛
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Ritchie/p/5886240.html
