BZOJ1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Source

Gold

题解：

巧妙的斜率优化。

考虑到把某一个元素按递增排序，另一个元素（有用的）一定是单调减的！

所谓有用就是没有一块地既比它高、又比它宽，否则可以被这块覆盖掉

然后就可以写出状态转移方程了，然后就是喜闻乐见的斜率优化的DP了

代码：

 1 const maxn=50000+100;
 2 type node=record
 3      x,y:int64;
 4      end;
 5 var a,b:array[0..maxn] of node;
 6     q,sta:array[0..maxn] of longint;
 7     i,n,top,l,r:longint;
 8     f:array[0..maxn] of int64;
 9 function cmp(a,b:node):boolean;
10  begin
11  if a.x=b.x then exit(a.y<b.y) else exit(a.x<b.x);
12  end;
13 procedure sort(l,r:longint);
14  var i,j:longint;x,y:node;
15  begin
16  i:=l;j:=r;x:=a[(i+j)>>1];
17  repeat
18   while cmp(a[i],x) do inc(i);
19   while cmp(x,a[j]) do dec(j);
20   if i<=j then
21    begin
22    y:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=y;
23    inc(i);dec(j);
24    end;
25  until i>j;
26  if i<r then sort(i,r);
27  if j>l then sort(l,j);
28  end;
29 procedure init;
30  begin
31  readln(n);
32  for i:=1 to n do readln(a[i].x,a[i].y);
33  sort(1,n);
34  for i:=1 to n do
35   begin
36   while (top>0) and (a[i].y>=a[sta[top]].y) do dec(top);
37   inc(top);sta[top]:=i;
38   end;
39  for i:=1 to top do b[i]:=a[sta[i]];n:=top;
40  end;
41 function k(i,j:longint):double;
42  begin
43  k:=(f[i]-f[j])/(b[j+1].y-b[i+1].y);
44  end;
45 function w(i,j:longint):int64;
46  begin
47  w:=f[j]+b[j+1].y*b[i].x
48  end;
49 procedure main;
50  begin
51  l:=0;r:=0;
52  for i:=1 to n do
53   begin
54   while (l<r) and (k(q[l+1],q[l])<b[i].x) do inc(l);
55   f[i]:=w(i,q[l]);
56   while (l<r) and (k(i,q[r])<k(q[r],q[r-1])) do dec(r);
57   inc(r);q[r]:=i;
58   end;
59  writeln(f[n]);
60  end;
61 begin
62   assign(input,‘input.txt‘);assign(output,‘output.txt‘);
63   reset(input);rewrite(output);
64   init;
65   main;
66   close(input);close(output);
67 end.

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