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指数函数、对数函数与幂函数
教学目标:
1、理解有理指数幂的含义;了解实数指数幂的意义;掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的图象、单调性与特殊点。
2、理解对数的概念及其运算性质;了解对数换底公式,能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数函数的概念;理解对数函数的图象、单调性与特殊点。
3、了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,了解幂函数的图象变化情况。
4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
教学重点:指、对数函数的图解与性质。
教学难点:指、对数函数的性质的运用。
1. 根式的运算性质:
②当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=。
③根式的基本性质:,(a0)。
2. 分数指数幂的运算性质:
3. 的图象和性质:
|
a>1 |
0<a<1 |
图象 |
|
|
性质 |
(1)定义域:R |
|
(2)值域:(0,+∞) |
||
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1 |
||
(4)在 R上是增函数 |
(4)在R上是减函数 |
|
(5)当x>0时,y>1, 当x<0时,0<y<1, |
(5)当x>0时,0<y<1 当x<0时,y>1 |
|
(6)x轴为渐近线 |
4. 指数式与对数式的互化:。
5. 重要公式:,。对数恒等式。
6. 对数的运算法则
如果,有
7. 对数换底公式:
( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)。
8. 两个常用的推论:
①,。
②( a,b > 0且均不为1)。
9. 对数函数的性质:
|
a>1 |
0<a<1 |
|
图 象 |
|
|
|
性 质 |
(1)定义域:(0,+∞) |
||
(2)值域:R |
|||
(3)过点(1,0),即当时, |
|||
(4)时 时 |
(4)时 时 |
||
(5)在(0,+∞)上是增函数 |
在(0,+∞)上是减函数 |
||
(6)y轴为渐近线 |
|||
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|
(1)af(x)=b?f(x)=logab,logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法)
(2)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0(转化法)
(3)af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)
(4)logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
12. 指数不等式与对数不等式的类型:
(1)af(x)>b?讨论a是否大于1
(2)af(x)>ag(x) )?讨论a是否大于1。
(3)af(x)>bg(x)?f(x)logma>g(x)logmb(取对数法m>1)
(4)logaf(x)>logbg(x)?logaf(x)>logag(x)/logab(换底法)
13. y=xa(其中a为常数),
当a>0时图象过点(0,0)与(1,1);在上是增函数
当a<0时,图象过点(1,1),在上是减函数。
【典型例题】
例1 计算:
(1);
(2);
(3)。
解:(1)原式
(2)原式
(3)原式
例2 已知,求的值。
解:∵,∴,∴,∴,
∴,∴,
又∵,
∴
例3 已知,且,求的值。
解:由得:,即,∴;
同理可得,∴由得 ,
∴,∴,∵,∴
例4 设,,且,求的最小值。
解:令 ,∵,,∴
由得,∴,
∴,∵,∴,即,∴,
∴,
∵,∴当时,
例5 设、、为正数,且满足。
(1)求证:
(2)若,,求、、的值。
证明:(1)左边
;
解:(2)由得,
∴……………①
由得………… ……………②
由①②得……………………………………③
由①得,代入得,
∵, ∴………………………………④
由③、④解得,,从而
例6 (1)若,则,,从小到大依次为 ;
(2)若,且,,都是正数,则,,从小到大依次为 ;
(3)设,且(,),则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
(4)(全国2理4)以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2
(5)(山东理4) 设,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有a值为
(A) (B) (C) (D)
解:(1)由得,故
(2)令,则,,,,
∴,∴;
同理可得:,∴,∴
(4)∵ ,∴ ln(ln2)<0,(ln2)2< ln2,而ln=ln2<ln2,
∴ 最大的数是ln2,选D。
(5)答案:A 分析:观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。
例7 已知函数f(x)=,g(x)=,
(1)证明f(x)为奇函数,并求f(x)的单调区间。
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明。
解:(1)∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称。
又f(-x)= =-f(x),∴f(x)为奇函数。
设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=
∵,,∴
f(x)为(0,+∞)增函数,又为奇函数,单调增区间为(-∞,0),(0,+∞)
(2)计算得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0
由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f(x2)-5f(x)g(x)=0
证明如下:
∵
说明:问题的结论是开放的,要我们去探求,利用从特殊到一般的方法得到结论,当然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。
例8 已知函数,
求证:(1)函数在上为增函数;
(2)方程没有负数根。
证明:(1)设,
则
,
∵,∴,,,
∴;
∵,且,∴,∴,
∴,即,
∴函数在上为增函数;
另法:∵,
∴
∴函数在上为增函数;
(2)假设是方程的负数根,且,则,
即, ①
当时,,∴,∴,
当时,,∴,∴,而
∴①式不成立
综上所述,方程没有负数根
例9 已知函数(且)
求证:(1)函数的图象在轴的一侧;
(2)函数图象上任意两点连线的斜率都大于。
证明:(1)由得:,
∴当时,,即函数的定义域为,
此时函数的图象在轴的右侧;
当时,,即函数的定义域为,
此时函数的图象在轴的左侧
∴函数的图象在轴的一侧;
(2)设、是函数图象上任意两点,且,
则直线的斜率,
,
当时,由(1)知,∴,∴,
∴,∴,又,∴;
当时,由(1)知,∴,
∴,
∴,∴,又,∴
∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于
【模拟试题】
1. 已知集合,若,,则,则运算可能是( )
(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法
2. 已知集合,,则满足条件的映射的个数是 ( )
(A)2 (B)4 (C)5 (D)7
3. 某天清晨,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天(0时—24时)体温的变化情况的图是 ( )
4. 定义两种运算:,,则函数为( )
(A)奇函数 (B)偶函数
(C)奇函数且为偶函数 (D)非奇函数且非偶函数
5. 偶函数在上单调递增,则与的大小关系是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
6. 如图,指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象,则a,b,c,d的大小关系是
C. 1<a<b<c<d D. a<b<1<d<c
7. 若logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
C. <31–y D. >31–y
8. 已知函数f(x)=lg(ax–bx)(a,b为常数,a>1>b>0),若x? (1,+∞)时,f(x)>0恒成立,则( )
A. a–b?1 B. a–b>1 C. a–b?1 D. a=b+1
9. 如图是对数函数y=logax的图象,已知a取值,4/3,3/5,1/10,则相应于①,②,③,④的a值依次是
10. 已知y=loga(2–ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是
11. 已知函数,且正数C为常数对于任意的,存在一个,使,则称函数在D上的均值为C。试依据上述定义,写出一个均值为9的函数的例子:_____
12. 设函数f(x)=lg,其中a?R,如果当x?(–∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围。
13. a为何值时,关于x的方程2lgx–lg(x–1)=lga无解?有一解?有两解?
14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案:每月的进货量当月销售完,销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?
15. 已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
(1)对于任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;(2)f(1)=1
(3)若,,,则有
(Ⅰ)试求f(0)的值;
(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;
(Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x,都有f(x)≤2x。
16. 设、为常数,:把平面上任意一点(,)映射为函数
(1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数;
(2)证明:当时,,这里t为常数;
(3)对于属于M的一个固定值,得,在映射F的作用下,M1作为象,求其原象,并说明它是什么图象?
【试题答案】
1. D 2. D 3. C 4. A 5. D
9. ,4/3,3/5,1/10,
10. (1,2)
11. ,, ()
12. a?–3/4
13. 0<a<4时,无解;a=4时,方程有一解;a>4时,方程有两解
14. 3.75,600,450
15. (I)令,
依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0),即f(0)≤0
又由条件(1)得f(0) ≥0,则f(0)=0
(Ⅱ)任取,可知,
则,
即,故
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1
因此,当x=1时,f(x)有最大值为1,
(Ⅲ)证明:
研究①当时,f(x)≤1<2x
②当时,
首先,f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x),∴
显然,当时,
成立
假设当时,有成立,其中k=1,2,…
那么当时,
可知对于,总有,其中n=1,2,…
而对于任意,存在正整数n,使得,
此时,
综上可知,满足条件的函数f(x),对x∈[0,1],总有f(x) ≤2x成立
16. (1)假设有两个不同的点(,),(,)对应同一函数,
即与相同,
即 对一切实数x均成立
特别令x=0,得a=c;令,得b=d这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾,假设不成立
故不存在两个不同点对应同一函数
(2)当时,可得常数a0,b0,使
由于为常数,设是常数
从而
(3)设,由此得
(,)
在映射F下,的原象是(m,n),则M1的原象是
消去t得,即在映射F下,M1的原象是以原点为圆心,为半径的圆
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