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指数函数 对数函数 冥函数 性质

时间:2016-09-29 13:38:11      阅读:335      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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指数函数、对数函数与幂函数

 

教学目标:

1、理解有理指数幂的含义;了解实数指数幂的意义;掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的图象、单调性与特殊点。

2、理解对数的概念及其运算性质;了解对数换底公式,能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数函数的概念;理解对数函数的图象、单调性与特殊点。

3、了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2y=x3技术分享了解幂函数的图象变化情况。

4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

 

教学重点:指、对数函数的图解与性质。

教学难点:指、对数函数的性质的运用。

 

知识点归纳技术分享

1. 根式的运算性质:

①当n为任意正整数时,(技术分享n=a技术分享

②当n为奇数时,技术分享=a;当n为偶数时,技术分享=|a|=技术分享

③根式的基本性质:技术分享,(a技术分享0)。

2. 分数指数幂的运算性质: 

    技术分享

3. 技术分享的图象和性质:

 

a>1

0<a<1

图象

技术分享

技术分享

性质

1)定义域:R

2)值域:(0,+∞)

3)过点(0,1),即x=0时,y=1

4)在 R上是增函数

4)在R上是减函数

5)当x>0时,y>1,

x<0时,0<y<1,

5)当x>0时,0<y<1

x<0时,y>1

6)x轴为渐近线

4. 指数式与对数式的互化:技术分享

5. 重要公式:技术分享技术分享。对数恒等式技术分享

6. 对数的运算法则

如果技术分享,有

技术分享

技术分享

技术分享

7. 对数换底公式:

技术分享  ( a > 0 ,? 1 ,m > 0 ,? 1,N>0)。

8. 两个常用的推论:

技术分享技术分享

技术分享 a,b > 0且均不为1)。

9. 对数函数的性质:

 

a>1

0<a<1

技术分享

技术分享

1)定义域:(0,+∞)

2)值域:R

3)过点(1,0),即当技术分享时,技术分享

4)技术分享时 技术分享

技术分享时 技术分享

4)技术分享  技术分享 

技术分享技术分享

5)在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

6)y轴为渐近线

 

 

 

 

10技术分享同底的指数函数技术分享与对数函数技术分享互为反函数技术分享

11技术分享指数方程和对数方程主要有以下几种类型:

1)afx=b?f(x)=logab,logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法)

2)afx=agx?f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0技术分享(转化法)

3)afx=bgx?f(x)logma=g(x)logmb技术分享(取对数法)

4)logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)

12. 指数不等式与对数不等式的类型:

1)afxb?讨论a是否大于1

2)afxagx) ?讨论a是否大于1。

3)afxbgx?f(x)logma>g(x)logmb技术分享(取对数法m>1)

4)logaf(x)>logbg(x)?logaf(x)>logag(x)/logab(换底法)

13. y=xa(其中a为常数),

a>0时图象过点(0,0)与(1,1);在技术分享上是增函数

a<0时,图象过点(1,1),在技术分享上是减函数。

 

【典型例题】

计算:

1)技术分享

2)技术分享

3)技术分享

解:1)原式技术分享

                  技术分享

    (2)原式技术分享

             技术分享

    (3)原式技术分享

             技术分享

 

已知技术分享,求技术分享的值。

解:技术分享,∴技术分享,∴技术分享,∴技术分享

    ∴技术分享,∴技术分享

    又∵技术分享

   ∴技术分享

 

已知技术分享,且技术分享,求技术分享的值。

解:技术分享得:技术分享,即技术分享,∴技术分享

同理可得技术分享,∴由技术分享得 技术分享

技术分享,∴技术分享,∵技术分享,∴技术分享

 

技术分享技术分享,且技术分享,求技术分享的最小值。

解:令 技术分享,∵技术分享技术分享,∴技术分享

    由技术分享技术分享,∴技术分享

技术分享,∵技术分享,∴技术分享,即技术分享,∴技术分享

技术分享

技术分享,∴当技术分享时,技术分享

 

5  技术分享技术分享技术分享为正数,且满足技术分享

    (1)求证:技术分享

    (2)若技术分享技术分享,求技术分享技术分享技术分享的值。

证明:1)左边技术分享

技术分享

解:2)由技术分享技术分享

技术分享……………①

技术分享技术分享………… ……………②

由①技术分享②得技术分享……………………………………③

由①得技术分享,代入技术分享技术分享

技术分享, ∴技术分享………………………………④

由③、④解得技术分享技术分享,从而技术分享

 

1)若技术分享,则技术分享技术分享技术分享从小到大依次为    

    (2)若技术分享,且技术分享技术分享技术分享都是正数,则技术分享技术分享技术分享从小到大依次为          

    (3)设技术分享,且技术分享技术分享技术分享),则技术分享技术分享的大小关系是(   )

    A. 技术分享     B. 技术分享     C. 技术分享    D. 技术分享

4)(全国2理4)以下四个数中的最大者是

A) (ln2)2                   (B) ln(ln2)                  (C) ln技术分享        (D) ln2

5)(山东理4) 设技术分享,则使函数技术分享的定义域为R且为奇函数的所有a值为

A)技术分享             (B) 技术分享         (C)技术分享                (D) 技术分享

解:1)由技术分享技术分享,故技术分享技术分享技术分享技术分享技术分享

    (2)令技术分享,则技术分享技术分享技术分享技术分享

    ∴技术分享,∴技术分享

同理可得:技术分享,∴技术分享,∴技术分享

3)取技术分享,知选技术分享技术分享

4)∵ 技术分享,∴ ln(ln2)<0,(ln2)2< ln2,而ln技术分享=技术分享ln2<ln2,

∴ 最大的数是ln2,选D。

5)答案:A    分析:观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

 

已知函数f(x)=技术分享g(x)=技术分享

1)证明f(x)为奇函数,并求f(x)的单调区间。

2)分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明。

解:1)∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称。

f(-x)技术分享技术分享=-f(x),∴f(x)为奇函数。

0<x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=技术分享

技术分享技术分享,∴技术分享

f(x)为(0,+∞)增函数,又为奇函数,单调增区间为(-∞,0),(0,+∞)

2)计算得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0

由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f(x2)-5f(x)g(x)=0

证明如下:

技术分享

技术分享

说明:问题的结论是开放的,要我们去探求,利用从特殊到一般的方法得到结论,当然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。

 

已知函数技术分享技术分享

求证:(1)函数技术分享技术分享上为增函数;

2)方程技术分享没有负数根。

证明:1)设技术分享

技术分享

技术分享

技术分享,∴技术分享技术分享技术分享

技术分享

技术分享,且技术分享,∴技术分享,∴技术分享

技术分享,即技术分享

∴函数技术分享技术分享上为增函数;

另法:技术分享技术分享

技术分享

∴函数技术分享技术分享上为增函数;

2)假设技术分享是方程技术分享的负数根,且技术分享,则技术分享

技术分享       ①

技术分享时,技术分享,∴技术分享,∴技术分享

而由技术分享技术分享技术分享  ∴①式不成立;

技术分享时,技术分享,∴技术分享,∴技术分享,而技术分享

∴①式不成立

综上所述,方程技术分享没有负数根

 

9 已知函数技术分享技术分享技术分享

求证:(1)函数技术分享的图象在技术分享轴的一侧;

    (2)函数技术分享图象上任意两点连线的斜率都大于技术分享

证明:1)由技术分享得:技术分享

∴当技术分享时,技术分享,即函数技术分享的定义域为技术分享

此时函数技术分享的图象在技术分享轴的右侧;

技术分享时,技术分享,即函数技术分享的定义域为技术分享

此时函数技术分享的图象在技术分享轴的左侧

∴函数技术分享的图象在技术分享轴的一侧;

2)设技术分享技术分享是函数技术分享图象上任意两点,且技术分享

则直线技术分享的斜率技术分享

技术分享

技术分享时,由(1)知技术分享,∴技术分享,∴技术分享

技术分享,∴技术分享,又技术分享,∴技术分享

技术分享时,由(1)知技术分享,∴技术分享

技术分享

技术分享,∴技术分享,又技术分享,∴技术分享

∴函数技术分享图象上任意两点连线的斜率都大于技术分享

 

【模拟试题】

1. 已知集合技术分享,若技术分享技术分享,则技术分享,则运算技术分享可能是(   )

A)加法          (B)减法          (C) 除法        (D)乘法     

2. 已知集合技术分享技术分享,则满足条件技术分享的映射技术分享的个数是 (    )

A)2             (B)4            (C)5           (D)7

3. 某天清晨,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天(0时—24时)体温的变化情况的图是      (  )

技术分享

4. 定义两种运算:技术分享技术分享技术分享,则函数技术分享为(   )

A)奇函数                      (B)偶函数   

C)奇函数且为偶函数            (D)非奇函数且非偶函数

5. 偶函数技术分享技术分享上单调递增,则技术分享技术分享的大小关系是 (    )

      (A)技术分享                       (B)技术分享

       (C)技术分享        (D)技术分享

6. 如图,指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象,则a,b,c,d的大小关系是

Aa<b<1<c<d                  Bb<a<1<d<c

C. 1<a<b<c<d                  Da<b<1<d<c

技术分享

7logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是 (   )

A技术分享<y–1/3                      B技术分享<3x–y    

C. 技术分享<31–y              D. 技术分享>31–y 

8已知函数f(x)=lg(ax–bx)(a,b为常数,a>1>b>0),若x? (1,+∞)时,f(x)>0恒成立,则(  )

Aa–b?1            Ba–b>1            Ca–b?1        Da=b+1

9如图是对数函数y=logax的图象,已知a取值技术分享4/3,3/5,1/10,则相应于①,②,③,④的a值依次是               

技术分享

10. 已知y=loga2–ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是    

11. 已知函数技术分享技术分享,且正数C为常数技术分享对于任意的技术分享,存在一个技术分享,使技术分享,则称函数技术分享D上的均值为C。试依据上述定义,写出一个均值为9的函数的例子:_____

12. 设函数f(x)=lg技术分享,其中a?R,如果当x?(–∞,1)时,f(x)有意义,求a的取值范围。

13. a为何值时,关于x的方程2lgx–lg(x–1)=lga无解?有一解?有两解?

14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案:每月的进货量当月销售完,销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?

15. 已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:

1)对于任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;(2)f(1)=1

3)若技术分享技术分享技术分享,则有技术分享

(Ⅰ)试求f(0)的值;

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x,都有f(x)≤2x。

16. 技术分享技术分享为常数,技术分享:把平面上任意一点(技术分享技术分享)映射为函数技术分享

    (1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数;

    (2)证明:当技术分享时,技术分享,这里t为常数;

    (3)对于属于M的一个固定值技术分享,得技术分享,在映射F的作用下,M1作为象,求其原象,并说明它是什么图象?

 

 

 

 

【试题答案】

1. D           2. D        3. C               4. A               5. D

6B          7D      8A

9技术分享4/3,3/5,1/10,          

10. (1,2)

11技术分享技术分享, 技术分享技术分享

12a?–3/4

130<a<4时,无解;a=4时,方程有一解;a>4时,方程有两解

14. 3.75,600,450

15. (I)令技术分享

依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0),即f(0)≤0

又由条件(1)得f(0) ≥0,则f(0)=0

(Ⅱ)任取技术分享,可知技术分享

技术分享

技术分享,故技术分享

于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1

因此,当x=1时,f(x)有最大值为1,

(Ⅲ)证明:

研究①当技术分享时,f(x)≤1<2x

②当技术分享时,

首先,f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x),∴技术分享

显然,当技术分享时,

技术分享成立

假设当技术分享时,有技术分享成立,其中k=1,2,…

那么当技术分享时,

技术分享

可知对于技术分享,总有技术分享,其中n=1,2,

而对于任意技术分享,存在正整数n,使得技术分享

此时技术分享

③当x=0时,f(0)=0≤2x技术分享技术分享

综上可知,满足条件的函数f(x),对x∈[0,1],总有f(x) ≤2x成立

16. (1)假设有两个不同的点(技术分享技术分享),(技术分享技术分享)对应同一函数,

技术分享技术分享相同,

即 技术分享对一切实数x均成立

特别令x=0,得a=c;令技术分享,得b=d这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾,假设不成立

故不存在两个不同点对应同一函数

2)当技术分享时,可得常数a0b0,使技术分享

技术分享技术分享

技术分享

由于技术分享为常数,设技术分享是常数

从而技术分享

3)设技术分享,由此得技术分享

技术分享技术分享

在映射F下,技术分享的原象是(m,n),则M1的原象是

技术分享

消去t得技术分享,即在映射F下,M1的原象技术分享是以原点为圆心,技术分享为半径的圆

指数函数 对数函数 冥函数 性质

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原文地址:http://www.cnblogs.com/Study02/p/5919492.html

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