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算是一道比较基础的数论题，可以用莫比乌斯反演写也可以用欧拉函数写。
推导过程：
不妨设$f(x)$表示对于$i\in[1,N],j\in[1,N]$且$gcd(i,j)==x$，即$f(x)=\sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{j=1}^N[gcd(i,j)==x]$
不妨设$g(x)$表示对于$i\in[1,N],j\in[1,N]$且$gcd(i,j)==kx$则显然$g(x)=(\lfloor \frac{N}{x} \rfloor)^2$
那么显然$g(x)=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor \frac{N}{x} \rfloor}f(k \times x)$
根据莫比乌斯反演，可以得到$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\lfloor \frac{N}{x} \rfloor}g(k \times x)\mu (k)$
然后线筛预处理出莫比乌斯函数就能够得到本题答案。
1 //BZOJ 2818 2 //by Cydiater 3 //2016.8.16 4 #include <iostream> 5 #include <cstring> 6 #include <string> 7 #include <algorithm> 8 #include <queue> 9 #include <map> 10 #include <cstdio> 11 #include <cstdlib> 12 #include <iomanip> 13 #include <ctime> 14 #include <cmath> 15 using namespace std; 16 #define ll long long 17 #define up(i,j,n) for(ll i=j;i<=n;i++) 18 #define down(i,j,n) for(ll i=j;i>=n;i--) 19 const ll MAXN=1e7+5; 20 const ll LIM=10000000; 21 const int oo=0x3f3f3f3f; 22 inline ll read(){ 23 char ch=getchar();ll x=0,f=1; 24 while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} 25 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} 26 return x*f; 27 } 28 ll N,prime[MAXN],cnt=0,mu[MAXN],ans=0; 29 bool vis[MAXN]; 30 namespace solution{ 31 void Mobius(){ 32 memset(vis,0,sizeof(vis)); 33 mu[1]=1; 34 up(i,2,LIM){ 35 if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;} 36 up(j,1,cnt){ 37 if(i*prime[j]>LIM)break; 38 vis[i*prime[j]]=1; 39 if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;} 40 else mu[i*prime[j]]=-mu[i]; 41 } 42 } 43 } 44 void slove(){ 45 up(i,1,cnt){ 46 if(prime[i]>=N)break; 47 ll t=N/prime[i]; 48 int pos; 49 up(j,1,t)ans+=mu[j]*(t/j)*(t/j); 50 } 51 cout<<ans<<endl; 52 } 53 } 54 int main(){ 55 //freopen("input.in","r",stdin); 56 using namespace solution; 57 Mobius();N=read(); 58 slove(); 59 return 0; 60 }
换成欧拉函数就很好理解了，不给推导过程了，最后的答案是：
$ans=\sum\limits^{p_i\in Prime}(\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{p_i} \rfloor} \phi (i))\times 2 -1$
//BZOJ 2818 //by Cydiater //2016.9.30 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iomanip> #include <ctime> #include <map> #include <string> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <queue> #include <iomanip> using namespace std; #define ll long long #define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++) #define down(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--) const int MAXN=1e7+5; const int LIM=1e7; const int oo=0x3f3f3f3f; inline ll read(){ char ch=getchar();ll x=0,f=1; while(ch>‘9‘||ch<‘0‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} return x*f; } ll prime[MAXN],cnt=0,phi[MAXN],N,ans=0; bool vis[MAXN]; namespace solution{ void pret(){ phi[1]=1; memset(vis,0,sizeof(vis)); up(i,2,LIM){ if(!vis[i]){prime[++cnt]=i;phi[i]=i-1;} up(k,1,cnt){ if(prime[k]*i>LIM)break; vis[prime[k]*i]=1; if(i%prime[k]==0){phi[i*prime[k]]=phi[i]*prime[k];break;} else phi[i*prime[k]]=phi[i]*phi[prime[k]]; } } up(i,1,LIM)phi[i]+=phi[i-1]; } void slove(){ up(i,1,cnt){ if(prime[i]>N)break; ans+=phi[N/prime[i]]*2-1; } cout<<ans<<endl; } } int main(){ //freopen("input.in","r",stdin); using namespace solution;N=read(); pret(); slove(); return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Cydiater/p/5923488.html
