Polya及burnside总结

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最近几天学习了群论及与其密切相关的burnside引理与polya定理，觉得并没有想象中的那么难。

群的定义见这里：http://baike.baidu.com/link?url=4TeuVkgLQvza-_fSdtr861Gm7j17R08k2CCZiS1XI6c1CFMOsqI4DLnz_i5ApbjgAHBMJLQFnp27ieHZ06J6IpvZvN8akwyk0dtTUX4r2My

置换的定义见这里：http://baike.baidu.com/link?url=68IFmbIQOaSgzXYsXVleZEAttqaohv5gnAvJMK-qKQddjMV6cGSvFEa6S9jgsY4HP2kKMd8Uxyb6HkBIzFiwOyQX_qpo5iPZptKyNfQJpluB-YT1EBUR5mvXvUd3sUnw

很多题目都是问你有多少不同的染色方案，如果一个方案能通过旋转等一系列操作得到另一个方案，那么这两个方案就是相同的方案。对于这类题目就需要burnside引理与polya定理了。

burnside引理：

设G ={a1, a2, a3 …, a|G|}是N={1, 2, 3 …, N}上的置换群，G在N上可引出不同的等价类，其不同的等价类个数为 .

这个引理求解在于求出在所有置换下，有多少种方案在此置换下不变，这样我们就需要遍历所有可能的情况，然后计算不变的方案数。

burnside引理的c很难求，那么能不能找到问题的本质？：即在此置换下不变的方案数？

polya定理：设G ={a1, a2, a3 …, a|G|}是N={1, 2, 3 …, N}上的置换群，现用m种颜色对这N个对象进行染色，其不同的染色方案为

注意这里是对这n个对象标号，然后考虑这些对象之间的置换，c表示这个置换中循环的个数，证明，要求不变的方案数，那么每个循环中一定要染成相同的颜色，有m种颜色，根据乘法原理就是m^c.

看几道例题：

zju1961 Let it Bead

题意：给定颜色种数m和环上的珠子总数n，问有多少种染色方案（通过旋转和翻转相同的算同一种）。 

做法：该题一共有两种置换，先考虑旋转：

一共有n种旋转方式，分别为顺时针旋转1~n格，然后可以证明旋转i格所形成的循环个数为gcd（i，n）。

再考虑翻转：

分奇偶考虑：当n为奇数时，n条对称轴，循环个数都是(n+1)/2，当n为偶数时，也有n条对称轴，其中n/2条对应的置换形成的循环个数n/2，其余的形成n/2+1条。

这个题目直接计算即可。

再看一个例题：给定颜色数n和珠子数n，n<=10^9,通过旋转算一种，我们要求的就是sigam(n^(gcd(n,i)-1)),gcd只有根号n种，我们把gcd相同的一起计算即可，算是数论的优越性吧。

Polya及burnside总结

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原文地址：http://www.cnblogs.com/OYzx/p/5947501.html