BM算法详解（转）

我 们定义数组pre[]，与pattern中的元素一一对应，对于pattern中的元素，pattern[i]，pre[i]是使得 pattern[k+1...j-i]=pattern[i+1...j]，且pattern[k]!=pattern[i]的k的最大值，如果不存在这 样的k，pre[i]=patlen。对于对于模式串的后缀k pattern[j-k+1...j]，满足条件的包含后缀可能不止一个，这里我们需要关注所有满足条件的pattern[m+1...m+k]中，满足 pattern[m] != pattern[j-k]的m的最大值。对于上例的模式串，其后缀3 pattern[12...14]，其包含后缀有pattern[8...10]，pattern[4...6]，pattern[1...3]，在这3 个包含后缀中，pattern[7]=pattern[11]，所以pattern[8...10]不是我们想要的包含后缀。pattern[0] != pattern[11]（这里面我们假设pattern[0]不等于任何可输入字符），pattern[3]!=pattern[11]，在这两个备选子 串中，pattern[4...6]的m值(3)大于pattern[1...3]的m值(0)，所以pattern[4...6]就是我们需要的pre 值。对于为什么要满足pattern[m]!=pattern[j-k]，请参考我的《KMP算法详解》一文中对于next[j]与f(j)不同之处的解 释，以及本文后面算法正确性方面的说明。

现 在我们发现了pattern[12...14]在模式串中的包含后缀pattern[4...6]，此时如果我们发现目标串target[n]与模式串 pattern[11]比较失败，我们就直接可以将pattern[3]与target[n]对齐，然后再从target[n+11]处向前依次与模式串 进行匹配。目标串当前位置的跳转距离goods[i]=j-pre[i]。

这 里我们需要解释一下如此大幅跳转的正确性。还是以上述模式串为例，当target[n]与pattern[11]匹配失败时，我们需要找到一个适当的位 置，令target[n+1...n+3]与pattern[k+1...k+3]相同，才有可能找到匹配结果，这里 target[n+1...n+3]=pattern[12...14]。根据pre[i]的定义，只有当k=3时，才能保证 pattern[12...14] = pattern[4...6]，对于任何k>3都有pattern[12...14] != pattern[k+1...k+3]，因为如果存在k>3使得pattern[12...14] = pattern[k+1...k+3]，那么pre[11]必然大于3。所以这一对齐方式不会漏过中间可能的匹配。

这 里读者可能会有疑问，你说的实际是错的，对于k=7，有target[n+1...n+3]=pattern[8...10]，为什么不让 target[n]与pattern[7]对齐，然后从target[n+7]位置开始依次向前比较呢？这个问题和KMP算法中next[j]和f(j) 的不同之处一样。虽然有pattern[8...10]=pattern[12...14]，但是pattern[7]=pattern[11]。因为 target[n] != target[11]，所以target[n]!=pattern[7]所以将target[n]与pattern[7]对齐所执行匹配尝试必然失败，所 以target[n]可以直接跳过pattern[7]直接与pattern[3]对齐。

另 一方面，如果target[n]与pattern[k]对齐，但是pattern[k+1...j]在模式串中不存在包含后缀，我们该如何决定模式串向后 的滑动距离呢。此时target[n+1...n+j-k] = pattern[k+1...j]，因为pattern[k+1...j]不存在包含后缀，所以对于任何m(0<=m< k)，pattern[m+1...m+j-k]!=pattern[k+1...j]（m<k+1），所以将target[n]与 pattern[m]对齐，相当于执行pattern[k+1...j]与pattern[m+1...m+j-k]的匹配，结果必然失败。

此 时可以考虑pattern[1]与target[n+1]对齐。pattern[1]与target[n+1]对齐后，pattern[1...j-k] 是模式的前缀j-k，target[n+1...n+j-k]相当于pattern[k+1...j]，因为pattern[k+1...j]不存在包含 子串，所以此次匹配也会失败。继续移动pattern[1]，pattern[1]与target[n+2]对齐，此时 target[n+2...n+j-k]相当于pattern[1...j-k-1]，与pattern[k+2...j]比较，此时两者是否相等依赖于 我们之前计算pre表的结果，能够使这个匹配成立的是使pattern[1...m]=pattern[j-m+1...j]的m的最大值，将 pattern[1]与target[n+j-k-m+1]对齐，如果这样的m不存在，则pattern[1]可以直接与target[n+j-k+1] 对齐，再执行匹配。如下例，当在target[4]处发生匹配失败，根据之前的介绍，pattern[1]与2，3，4，5，6对齐也都会失败，这里 j=9,k=4,m=3,n=4。