圆内接多边形面积最大值问题之探究: 从一道加拿大数学竞赛题谈起

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1. 一道数学奥林匹克竞赛题:

给定半径为 $r$ 的圆上定点 $P$ 的切线 $l$, $R$ 是该圆上动点, $RQ\perp l$ 于 $Q$, 试确定面积最大的 $\triangle{PQR}$.

(第13届加拿大数学奥林匹克竞赛)

解答:

本题难度不大, 只需考虑在 $\bigodot{O}$ 内找到与 $\triangle{PQR}$ 相关的三角形即可.

过 $R$ 作 $RS \parallel l$ 交 $\bigodot{O}$ 于 $S$, 作 $PM \perp RS$. 易知, $\triangle{PQR} \cong \triangle{PMR} \cong \triangle{PMS}$.

因此 $\triangle{PRS} = 2\triangle{PQR}$. 而在所有圆内接三角形中, 正三角形面积最大, 故当 $\triangle{PRS}$ 为正三角形时, $\triangle{PQR}$ 面积最大. $$\triangle{PRS} = {1\over2}\cdot {3\over2}r\cdot \sqrt{3}r = {3\sqrt3\over4}r^2$$ $$\Rightarrow \triangle{PQR} = {3\sqrt3\over8}r^2.$$

2. 圆内接三角形中正三角形面积最大

在上述解答过程中, 我们直接使用了结论"圆内接三角形中, 正三角形面积最大", 即

对于确定的圆, 其所有内接三角形中以等边三角形面积最大.

下面我们给出证明.

首先求出 $\triangle{ABC}$: $$\triangle{ABC} = {1\over2}ab\sin C = {1\over2}\cdot2R\sin A\cdot2R\sin B\cdot\sin C$$ $$= 2R^2\cdot\sin A\cdot\sin B\cdot\sin C$$ $$\le 2R^2\cdot \left({\sin A + \sin B + \sin C \over 3}\right)^3.$$ 最后一个不等式成立的依据是 AM-GM 不等式. 此时需要求出 $\sin A + \sin B + \sin C$ 之最大值. 为此, 我们引入凸函数概念 (Convex function):

若对于定义域内的两点 $x_1$, $x_2$, $\forall t\in[0, 1]$, 都有 $$f\left(tx_1 + (1-t)x_2\right) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2),$$ 则称 $f(x)$ 是定义域上的凸函数. (一般的竞赛教科书上表述形式为 $t = {1\over2}$ 之情形)

比如二次函数 $f(x) = x^2$, 正弦函数 $f(x) = \sin x$ ($x\in[\pi, 2\pi]$) 等都是凸函数(考虑其图像来感受何为凸函数). 

对于某个凸函数 $f(x)$, 下述琴生不等式成立 (Jensen‘s inequality):

对于凸函数 $f(x)$ 定义域上的点 $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$, 及正实数 $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$, 有 $$f\left({a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}\right) \le {a_1f(x_1) + a_2f(x_2) + \cdots + a_nf(x_n)\over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}.$$ 或简单表示为 ($i = 1, 2, \cdots, n$): $$f\left({\sum a_ix_i \over \sum a_i}\right) \le {\sum a_if(x_i) \over \sum a_i}.$$ 证明:

用数学归纳法证明.

不失一般性, 我们重写上述 Jensen‘s inequality, 假设 $\sum \lambda_i = 1$, $\lambda_i$ 是正实数且 $i = 1, 2, \cdots, n$ (暨 $\lambda_i$ 为每一项之权重 ${a_i \over \sum a_i}$): $$f\left(\sum \lambda_i x_i\right) \le \sum \lambda_if(x_i).$$ 对于 $n = 2$ 时, 由凸函数定义可得 $$f\left(\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2\right) \le \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2).$$

假设 $n-1$ 时成立, 即 $$f\left(\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_if(x_i),$$ 下面证明 $n$ 时成立: $$f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\right) = f\left(\lambda_1x_1 + \sum_{i=2}^{n} \lambda_i x_i\right) = f\left(\lambda_1x_1 + (1 - \lambda_1)\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} x_i\right)$$ $$\le \lambda_1f(x_1) + (1-\lambda_1)f\left(\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} x_i\right).$$ 最后一个不等号成立是因为 $n = 2$ 时之凸函数定义.

而 $$\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} = 1,$$ 因此由归纳假设可得 $$f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\right) \le \lambda_1f(x_1) + (1-\lambda_1)f\left(\sum_{i=2}^{n} {\lambda_i \over 1-\lambda_1} x_i\right)$$ $$\le \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2) + \lambda_3f(x_3) + \cdots + \lambda_{n}f(x_{n}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_if(x_i).$$ 证毕.

当然, 对于凸函数之相反情形即凹函数, 上述不等式亦须取反向符号, 即 $$f\left({a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}\right) \ge {a_1f(x_1) + a_2f(x_2) + \cdots + a_nf(x_n)\over a_1 + a_2 + \cdots + a_n}.$$ 下面回到我们的问题, 如何求出 $\sin A + \sin B + \sin C$ 之最大值?

首先, 判断 $f(x) = \sin x$ ($x\in[0, \pi]$) 之凹凸性: $${f(x_1) + f(x_2) \over 2} = {1\over2}(\sin x_1 + \sin x_2) = \sin{x_1 + x_2 \over 2}\cos{x_1 - x_2 \over 2}$$ $$\le \sin{x_1 + x_2 \over 2} = f\left({x_1 + x_2 \over 2}\right).$$ 即 $f(x)$ 是凹函数 (也可以从图像迅速判断之).

由 Jensen‘s inequality 可得: $${\sin A + \sin B + \sin C \over 3} \le \sin{A + B + C \over3} = {\sqrt3 \over 2},$$ 当且仅当 $A = B = C = {\pi \over 3}$ 时取等号, 即当 $\triangle{ABC}$ 是正三角形时面积最大, 其最大值为: $$\triangle{ABC} = 2R^2\cdot \left({\sqrt3 \over 2}\right)^3 = {3\sqrt3 \over 4}R^2.$$

3. 圆内接多边形中正 $n$ 边形面积最大

由前文的讨论结果, 我们自然考虑如下问题: 在圆内接多边形中面积最大者是否为正 $n$ 边形? 为了证明这一想法, 我们希望构造类似的解决办法, 但是, 对于 $n \ge 5$ 的情况, 很难找到与前面所使用的三角形面积公式一样合适的面积求解方法. 因此, 我们首先改造一下前文所使用的面积公式, 其目的是使之适用于所有圆内接多边形.

在新的面积求法中, 我们不再依赖于三角形的边长 $a$, $b$, $c$, 而仅考虑其所在圆的半径 $R$ 以及某些适用的角度. 如下图所示:

设 $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$ 是 $O$ 点对三边的张角, 则三角形面积为 $$\triangle{ABC} = \triangle{AOB} + \triangle{AOC} + \triangle{BOC} = {1\over2}R^2\cdot(\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3),$$ 依据 $\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 是凹函数及 Jensen‘s inequality 可得 $${\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 \over 3} \le \sin{\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 \over 3} = {\sqrt3 \over 2}.$$ 当且仅当 $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3$ 时取等号, 即 $\triangle{ABC}$ 是正三角形.

因此 $\triangle{ABC}$ 面积最大值为 $$\triangle{ABC} = {3\sqrt3 \over 4}R^2.$$ 与前面计算出来的结果相同.

下面我们考虑圆内接 $n$ 边形的情况.

类似的, 设圆心 $O$ 对各边的张角分别为 $\theta_1$, $\theta_2$, $\cdots$, $\theta_n$. 则由 Jensen‘s inequality 可求得该多边形的面积最大值 $S$ 为 $$S = {1\over2}R^2\cdot(\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \cdots + \sin\theta_n)$$ $$\le {1\over2}R^2\cdot n \cdot \sin{\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n \over n}$$ $$= {n \over 2}R^2\cdot\sin{2\pi\over n}.$$ 当且仅当 $\theta_1 = \theta_2 = \cdots = \theta_n$, 即该多边形为正 $n$ 边形时取等号.

依据上述讨论, 我们可以得出一般性结论:

在所有圆内接多边形中面积最大者是正 $n$ 边形, 其面积最大值为 $${n \over 2}\cdot R^2\cdot\sin{2\pi\over n}.$$

Reference:

1. Convex function (Wikipedia): https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

2. Jensen‘s inequality (Wikipedia): https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality

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