基本公式推导

理论部分：SVM涉及的理论知识太多太繁杂了，大家直接看：
支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界） http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837

下面摘抄一小部分内容（不考虑推导细节的话，基本上能理解SVM方法推导的整个流程），对偶问题（包括KKT条件）在SVM起到很重要的作用，如果对此不很了解，则难以理解SVM推导过程。关于对偶分析，可以参考我的另一篇文章:http://blog.csdn.net/qq_34531825/article/details/52872819) 。

我们用一个超平面划分图中对图中的两类数据进行分类，超平面写成$f(x)=w^Tx+b=0$,在线性可分的情况下，我们能找到一些支持向量，满足$|w^Tx+b|=1$

对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔如下图中的$\frac{Gap}{ 2}$所示。

$x_i$点离超平面方程$w^Tx+b=0$的距离为：

$$\gamma=\frac{|w^Tx_i+b| }{||w||}=\frac{|f(x_i)| }{||w||}$$
定义函数
$y_i=1 \ \ \ \ \ \ 当f(x)>0,$
$y_i=-1\ \ \ 当f(x)<0,$

需要求解的目标函数及约束条件为：

$$max\ \ \frac{1}{||w||}$$ $$s.t. \ \ \ y_i(w^Tx_i+b)\geq 1\ \ \ i=1,2...n$$
等价于下面的凸二次规划问题：
$$min\ \ \frac{1}{2}||w||^2$$ $$s.t. \ \ \ y_i(w^Tx_i+b)\geq 1\ \ \ i=1,2...n$$

可以利用通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题。（关于对偶分析，可以参考我的另一篇文章:http://blog.csdn.net/qq_34531825/article/details/52872819) 。

拉格朗日函数为：

$$L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2-\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(y_i(w^Tx_i+b)-1)$$
原问题的对偶函数为：
$$\theta(w,b,\alpha)=inf_{\alpha_i \geq 0}\{L(w,b,\alpha)\}$$
对偶问题为：
$$min\ \ \theta((w,b,\alpha))$$ $$\alpha_i\geq0$$
按照KKT条件求解：
首先对w和b求偏导：
$$\frac{\partial L}{\partial w}=0=>w=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iy_ix_i$$
$$\frac{\partial L}{\partial b}=0=>\sum_{i=1}^{n}\alpha_iy_i=0$$

问题转换为下公式，只包含变量$\alpha$

对于非线性数据，用核函数进行映射$x_i\mapsto \phi(y_i),y_i\mapsto \phi(y_i)$：

使用松弛变量处理 outliers 方法
虽然通过映射 将原始数据映射到高维空间之后，能够线性分隔的概率大大增加，但是对于某些情况还是很难处理。
例如可能并不是因为数据本身是非线性结构的，而只是因为数据有噪音。对于这种偏离正常位置很远的数据点，我们称之为 outlier ，在我们原来的 SVM 模型里，outlier 的存在有可能造成很大的影响，因为超平面本身就是只有少数几个 support vector 组成的，如果这些 support vector 里又存在 outlier 的话，其影响就很大了。

现在考虑到outlier问题，引入松弛变量：

原问题变成

其中 $C$是一个参数，用于控制目标函数中两项（“寻找 margin 最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。$C$是一个事先确定好的常量。
对偶问题：

序列最小最优化SMO算法：
在$\alpha=\{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\}$上求上述目标函数的最小值。为了求解这些乘子，每次从中任意抽取两个乘子$\alpha_1, \alpha_2$，然后固定$\alpha_1, \alpha_2$以外的其它乘子${\alpha_3, \alpha_4, ..., \alpha_n}$，使得目标函数只是关于$\alpha_1, \alpha_2$的函数。这样，不断的从一堆乘子中任意抽取两个求解，不断的迭代求解子问题，最终达到求解原问题的目的。

以上内容摘抄自：
支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界） http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837
希望了解全面的过程，推荐参考原文。

Spark 优缺点分析

以下翻译自Scikit。
The advantages of support vector machines are:
（1）Effective in high dimensional spaces.在高维空间表现良好。
（2）Still effective in cases where number of dimensions is greater than the number of samples.在数据维度大于样本点数时候，依然可以起作用
（3）Uses a subset of training points in the decision function (called support vectors), so it is also memory efficient.仅仅使用训练数据的一个子集（支持向量），因此是内存友好型的算法。
（4）Versatile: different Kernel functions can be specified for the decision function. Common kernels are provided, but it is also possible to specify custom kernels.适应广，能解决多种情况下的分类问题，这是由于它支持不同类型的核函数，甚至支持自定义的核函数。
The disadvantages of support vector machines include:
（1）If the number of features is much greater than the number of samples, the method is likely to give poor performances.在数据维度（特征个数）多于样本数很多的时候，通常只能训练出一个表现很差的模型。
（2）SVMs do not directly provide probability estimates, these are calculated using an expensive five-fold cross-validation (see Scores and probabilities, below).SVM不支持直接进行概率估计，Scikit中使用很耗费资源的5折交叉检验来估计概率。

Spark Mllib

import org.apache.spark.{SparkConf,SparkContext}
import org.apache.log4j.{Level, Logger}
import org.apache.spark.mllib.classification.{SVMModel,SVMWithSGD}
import org.apache.spark.mllib.evaluation.BinaryClassificationMetrics
import org.apache.spark.mllib.util.MLUtils
import org.apache.spark.SparkConf
import org.apache.spark.SparkContext
import org.apache.spark.mllib.optimization.L1Updater
import org.apache.spark.mllib.optimization.SquaredL2Updater

object mySVM {
  def main(args:Array[String]){
    //屏蔽日志
    Logger.getLogger("org.apache.spark").setLevel(Level.ERROR)
    Logger.getLogger("org.eclipse.jetty.server").setLevel(Level.OFF) 
    val conf=new SparkConf().setMaster("local").setAppName("My App")
    val sc=new SparkContext(conf)

    // Load training data in LIBSVM format.
    val data = MLUtils.loadLibSVMFile(sc, "/data/mllib/sample_libsvm_data.txt")
    //println(data.collect()(0))//检查数据   

    // Split data into training (60%) and test (40%).
    val splits = data.randomSplit(Array(0.6, 0.4), seed = 11L)
    val training = splits(0).cache()
    val test = splits(1)

    // Run training algorithm to build the model   
    /*
     * stepSize: 迭代步长，默认为1.0
     * numIterations: 迭代次数，默认为100
     * regParam: 正则化参数，默认值为0.0
     * miniBatchFraction: 每次迭代参与计算的样本比例，默认为1.0
     * gradient：HingeGradient ()，梯度下降；
     * updater：SquaredL2Updater ()，正则化，L2范数；
     * optimizer：GradientDescent (gradient, updater)，梯度下降最优化计算。
     */
    val svmAlg=new SVMWithSGD()
    svmAlg.optimizer
      .setNumIterations(100)
      .setRegParam(0.1)//正则化参数
      .setUpdater(new L1Updater)
    val modelL1=svmAlg.run(training)


    // Clear the default threshold.
    modelL1.clearThreshold()

   // Compute raw scores on the test set.
    val scoreAndLabels = test.map { point =>
     val score = modelL1.predict(point.features)     
     (score, point.label)//return score and label
    }   

   // Get evaluation metrics.
   val metrics = new BinaryClassificationMetrics(scoreAndLabels)
   val auROC = metrics.areaUnderROC() 
   println("Area under ROC = " + auROC)  

  }   

}

Python Scikit

Scikit对与SVM提供更多灵活的选择，可供学习实验。

参考文献
（1） 支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界） http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837
（2）Spark MLlib SVM算法（源代码分析）http://www.itnose.net/detail/6267193.html
（3）Spark官网与Scikit官网
（4）LIBSVM: A Library for Support Vector Machines
Chih-Chung Chang and Chih-Jen Lin，Department of Computer Science
National Taiwan University, Taipei, Taiwan
（5）A Tutorial on Support Vector Regression Alex J. Smola? and Bernhard Scholkopf