[线性代数] 1、行列式

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第一章  行列式

    §1  二阶与三阶行列式------------------>行列式的概念
    §2  全排列及其逆序数
    §3  n 阶行列式的定义
    §4  对换------------------------------>行列式的性质及计算
    §5  行列式的性质
    §6  行列式按行（列）展开
    §7  克拉默法则------------------------>线性方程组的求解.

1.1、二元线性方程组与二阶行列式

PS:对角线相乘[二阶行列式]

1.2、三阶行列式

PS:平行对角计算法则

1.3、全排列及其逆序数

全排列：n!种情况

逆序：   当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.

逆序数：排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.（奇排列\偶排列)
计算逆序数算法：按照规律比较

1.4、n 阶行列式

PS：简记作det(a_ij )

• n 阶行列式共有 n! 项．
• 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
• 每一项可以写成a_1p1a_2p2...a_npn（正负号除外），其中p₁p₂...p_n是1, 2, …, n 的某个排列.
• 当p₁p₂...p_n是偶排列时，对应的项取正号；
• 当p₁p₂...p_n是奇排列时，对应的项取负号.

1.5、四个特殊行列式计算

1.6、对换定义

定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．

相邻对换：将相邻两个元素对换，叫做相邻对换

• 相邻对换是对换的特殊情形.
• 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
• 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.

1.7、对换与排列奇偶性的关系

定理1　 对换改变排列的奇偶性.

推论     奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.

因为：  交换a_i1j1，a_i2j2，a_{i3j3，...，}a_injn中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.

所以：

所以：  n阶行列式又可以写成下面的形式

1.8、行列式的性质

性质1  行列式与它的转置行列式相等,即D=D^T.

性质2  互换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论    如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
性质3  行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.
推论    行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质4  行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5  若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,就能拆成两个行列式相加的形式.

性质6  把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

PS:广义下三角矩阵

PS:利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值.

1.9、余子式与代数余子式

余子式：在n 阶行列式中，把元素a_ij所在的第i行和第j列划掉后，留下来的n－1阶行列式叫做元素a_ij的余子式，记作M_ij        .

代数余子式：把 A_ij=(-1)^i+jM_ij称为元素a_ij的代数余子式．

PS：行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.

引理    一个n 阶行列式，如果其中第   行所有元素除a_ij外都为零，那么这行列式等于a_ij与它的代数余子式的乘积，即D=a_ijA_ij

1.10、行列式按行（列）展开法则[低阶行列式表示高阶行列式]

定理3  行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

PS:范德蒙德(Vandermonde)行列式

推论  行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

PS:上面推论的证明方法很精妙！！！

1.11、克拉默法则[解线性方程组]

线性方程组：

当D!=0时：

有解并且解是唯一的：

PS:其中D_j是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式

定理4   如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .

定理4′  如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

1.12、齐次方程组与非齐次方程组

定义：  常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.

结论：  齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.

定理5   如果齐次线性方程组的系数行列式 D!=0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.

定理5′  如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.  

LZ说明：由于接下来要研究一下卡尔曼滤波，所以把大一时的线性代数的PPT拿来复习一下。又为了让今后再用的时候可以方便找到，就把主要内容整理一下写了个博客。这一章的知识主要用来解决行列式的化简及计算，以及用行列式来计算线性方程组。好吧，时间也不早啦，今天就写到第一章吧，明天是矩阵及其运算~   http://www.cnblogs.com/zjutlitao/

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[线性代数] 1、行列式

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