[线性代数] 2、矩阵

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 第二章、矩阵

    §1 矩阵概念的引入
    §2 矩阵的定义
　 §3 特殊的矩阵
    §4 矩阵与线性变换

2.1、定义

简记为：

2.2、特殊矩阵

行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作A_n
只有一行的矩阵 A=(a₁,a₂,...,a_n)称为行矩阵(或行向量) .
元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O .
形如的方阵称为对角阵．记作：
特别的，方阵 称为单位阵．记作：

2.3、矩阵与线性变换

PS：线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.

PS: 投影变换、旋转变换是在二维和高维运算中很重要的东西

2.4、矩阵运算

PS: 和行列式不一样！！！

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

PS: 还是和行列式不一样！！！

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

设A=(a_ij)_mxs，B=(b_ij)_sxn，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵C=(c_ij)_mxn，其中

PS: 矩阵乘法不一定满足交换律.
PS: 矩阵A!=O ，B!=O却有AB=O.
PS: 矩阵乘法的运算规律

• 结合律 
• 数乘和乘法的结合律 
• 乘法对加法的分配率   
• 单位矩阵在矩阵乘法中类似于1   

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，定义：

显然：

2.5、矩阵转置

定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A^T .

对称阵：A=A^T

反对称阵：A=-A^T

2.6、方阵的行列式

定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.

2.7、伴随矩阵

定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成矩阵

2.8、共轭矩阵

定义：当A=(a_ij)为复矩阵时，用表示的共轭复数，记

性质：设A，B 为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的：

2.9、逆矩阵：（如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵）

定义：n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得

PS:　 B如果存在则唯一

PS:    如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵，记作 A^－1 .

PS:   由AA^*=A^*A=|A|E推出

推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么A^-1 、A^T 、λA(λ!=0)与AB也可逆，且

2.10、矩阵分块法（化整为零的思维）

加法：若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，形式上看成是普通矩阵的加法！

数乘：形式上看成是普通的数乘运算！

乘法：略

按行分块以及按列分块：略

转置：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．

分块对角矩阵：1、A是n阶矩阵 2、A的分块矩阵只在对角线上有非零子块 3、其余子块均为零矩阵 4对角线上的子块为方阵

• | A | = | A1 | | A2 | … | As |

LZ说明：这一章主要讲矩阵的一些定义和性质及运算法则，是为后面做基础用的~http://www.cnblogs.com/zjutlitao/

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原文地址：http://www.cnblogs.com/zjutlitao/p/3912468.html