标签：cpp highlight can 验证 while cst algorithm amp 时间
题意：
给出一张无向图，有n(<=100)个点，m条边，这n个点上一开始有ai个特殊点，这些特殊点一个单位时间移动一次，求移动T(<=1e9)次后，每个点上的点对的期望值(答案对1e9+7)取模（假如一个点上有4个特殊点，那么这个点上就有6个点对）。
题解：
首先看到T的数据范围，这个提示的是要用log级别的算法，很容易就想到了矩阵，现在的问题就是验证矩阵是否可行。
很容易知道初始矩阵是n * n的，那么这个矩阵表示的是什么？很容易知道是表示概率，因为刚好满足了乘法原理和加法原理，到此说明矩阵是可行的。
用矩阵就可以知道一个点到达另外一个点的概率，而E = P * w，现在可以很容易得到一个点到达另外一个点的期望值。
但是要求的却是 点对的期望值，那么就是两个点间的期望值相乘，现在的问题就是求到达此点的所有点的期望值的两两之积，由公式[(a+b+c+d...)2 - a2 - b2 - c2 - d2 - ...]/ 2可以容易得到。
代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1e3 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
struct Matrix
{
LL map[107][107];
} F;
LL inv[N], ans, a[N][N];
int n, c[N][N], num[N], T;
Matrix Mul (Matrix a, Matrix b)
{
Matrix ret;
memset (ret.map, 0, sizeof ret.map);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
for (int j = 1; j <= n; ++ j)
for (int k = 1; k <= n; ++ k)
ret.map[i][j] = (ret.map[i][j] + a.map[i][k] * b.map[k][j] % mod) % mod;
return ret;
}
Matrix Pow (Matrix x, int cnt)
{
Matrix ret;
memset (ret.map, 0, sizeof ret.map);
for (int i = 0; i <= n; ++ i) ret.map[i][i] = 1;
while (cnt)
{
if (cnt & 1) ret = Mul(ret, x);
x = Mul(x, x);
cnt >>= 1;
}
return ret;
}
LL pow (LL x, int n)
{
LL ret = 1;
while (n)
{
if (n & 1) ret = ret * x % mod;
x = x * x % mod;
n >>= 1;
}
return ret;
}
int main ()
{
scanf ("%d%d", &n, &T);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf ("%d", &num[i]);
for (int i = 1; i <=1000; ++ i) inv[i] = pow (i, mod - 2);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
for (int j = 1; j <= n; ++ j)
scanf ("%d", &c[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
int cnt = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++ j) cnt += c[i][j];
for (int j = 1; j <= n; ++ j) a[i][j] = c[i][j] * inv[cnt];
}
if (T != 1)
{
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
for (int j = 1; j <= n; ++ j)
F.map[i][j] = a[i][j];
F = Pow (F, T);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
for (int j = 1; j <= n; ++ j)
a[i][j] = F.map[i][j];
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
LL ret1 = 0, ret2 = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++ j)
{
LL ret = (a[j][i] * num[j]) % mod;
ret1 = (ret1 + ret) % mod;
ret2 = (ret2 + ret * a[j][i]) % mod;
}
ans = (ans + (ret1 * ret1 - ret2 + mod) % mod * inv[2] % mod) % mod;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
总结：
1.这个题个人觉得不是很难，但是暴露出概率和期望确实学得不是一般的水啊~
2.这个矩阵就写得很蠢了，明明可以直接用数组写，而且还可能更快。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/xgtao/p/6034763.html
