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Splay Tree

时间:2014-08-14 23:30:16      阅读:280      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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伸展树


和AVL树不一样,伸展树并不保证每次操作的时间复杂度为O(logn),而保证任何
一个m个操作的序列总时间为O(mlogn)。
伸展树的基本思想是:每个结点被访问时,使用AVL树的旋转操作把它移动到
根。由于旋转是自底向上的,所以需要设置父亲指针,而不像AVL树那样以儿子为轴
旋转。
伸展操作(splaying) 伸展树的核心是伸展操作Splay(x,S)。它是在保持伸展树有
序性的前提下,通过一系列旋转将伸展树S中的元素x调整到树的根部。在调整的过程
中,要根据x的位置分以下三种情况分别处理。
情况一: 节点x的父节点y是根节点。
这时,如果x是y的左孩子,我们进行一次Zig(右旋)操作;如果x是y的右孩子,
则我们进行一次Zag(左旋)操作。经过旋转,x成为二叉查找树S的根节点,调整结
束。如图 3.25所示。
图 3.25: 伸展树旋转:zig旋转和zag旋转
110 数据结构原理
两种旋转不仅代表了伸展操作的情况一,而且也是后两种情况的基础,因此把代
码列在这里。由于旋转过程中需要修改父亲,因此需要记录父亲指针。这里仍然让0充
当虚拟结点,因此可以随意修改它的父亲和儿子。注意建立关系时必须同时修改儿子
的父亲指针和父亲的儿子指针,在下面的代码中这样的成对操作被写在同一行中。一
共有三组成对操作。
情况二:节点x的父节点y不是根节点,y的父节点为z,且x与y同时是各自父
节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。
这时,我们进行一次Zig-Zig操作或者Zag-Zag操作。如图 3.26所示
图 3.26: 伸展树旋转:zig-zig旋转
情况三:节点x的父节点y不是根节点,y的父节点为z,x与y中一个是其父节
点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。
这时,我们进行一次Zig-Zag操作或者Zag-Zig操作。如图 3.27所示
图 3.27: 伸展树旋转:zig-zag旋转
综合三种情况的伸展操作是:
void splay(int& x, int& s)
{
int p;
while(father[x])
{
p = father[x];
if(!father[p]) // Zig & Zag
{
if(x == left[p]) RightRotate(x);
else LeftRotate(x);
break;
}
if(x == left[p])
{
if(p == left[father[p]])
{ RightRotate(p); RightRotate(x);} //Zig-Zig
else
3.3 平衡二叉树及其变种 111
{ RightRotate(x); LeftRotate(x); } //Zig-Zag
}
else
{
if(p == right[father[p]]
{ LeftRotate(p); LeftRotate(x); } //Zag-Zag
else
{ LeftRotate(x); RightRotate(x); } //Zag-Zig
}
}
s = x;
}
下面是一个例子。如图 3.28(a)所示,执行Splay(1,S),我们将元素1调整到了伸展
树S的根部。再执行Splay(2,S),如图 3.28(b)所示,我们从直观上可以看出在经过调整
后,伸展树比原来“平衡”了许多。伸展操作的过程并不复杂,只需要根据情况进行旋
转就可以了,三种旋转都是由基本的左旋和右旋组成的,实现较为简单。
图 3.28: 伸展操作举例
五种基本操作 利用Splay操作,我们可以在伸展树S上进行五种基本运算。
Find和Insert只是简单的进行通常的操作后伸展操作元素x,需要重点说明的是Delete、
Join和Split。
Delete(x,S):将元素x从伸展树S所表示的有序集中删除。用伸展树查找找到x的
位置,则x到了根的位置。合并x的左右子树即可。
Join(S1,S2):将S1与S2合并,其中S1的所有元素都小于S2的所有元素。首先,我
们找到伸展树S1中最大的一个元素x,再通过Splay(x,S1)将x调整到伸展树S1的根。然
后再将S2作为x节点的右子树。这样,就得到了新的伸展树S,如图 3.29所示。
图 3.29: 伸展树的join操作
Split(x,S):将S分离为S1和S2,其中S1中元素都小于x,S2中元素都大于x。先查
找,将元素x调整到根,则x的左子树就是S1,而右子树为S2。如图 3.30所示。
图 3.30: 伸展树的split操作
其他操作 除了上面介绍的五种基本操作,伸展树还支持求最大值、求最小值、求
112 数据结构原理
前趋、求后继等多种操作,这些基本操作也都是建立在伸展操作的基础上的。各种操
作的代码如下:
int find(int x, int s)
{ int p = BST_Search(x, s); splay(p, s); return p; }
void insert(int x, int& s)
{ int p = BST_Insert(x, s); splay(p, s); return p; }
void remove(int x, int& s)
{ int p = find(x,s); join(left[p], right[p]); }
int maximum(int s)
{ int p = s; while(right[p]) p = right[p]; splay(p,s); return p; }
int minimum(int s)
{ int p = s; while(left[p]) p = left[p]; splay(p,s); return p; }
int prev(int x, int& s)
{ int p = find(x, s); p = left[p]; return maximum(p); }
int next(int x, int& s)
{ int p = find(x, s); p = right[p]; return minimum(p); }
int join(int& s1, int& s2)
{
if(!s1) return s2; if(!s2) return s1;
int p = maximum(s1); right[p] = s2;
return p;
}
void split(int x, int&s, int& s1, int& s2)
{
int p = find(x, s);
s1 = left[p]; s2 = right[p];
}
伸展树最有意思的地方在于伸展操作结束以后,伸展结点一定在根处,因此才有
了join和split这样有意思的操作,delete也变得比普通BST更加简单。
结论(不证):n个结点的伸展树m次操作的总时间开销为O(mlogn)。
伸展树有一种优化形式,不需要父亲指针,只需要O(1)的附加存储,所有操作自
顶向下,维持L和R两个临时树。有兴趣的读者可以参考相关书籍。


以上来自《算法竞赛入门经典训练指南》

Splay简单粗暴  可是本蒟蒻连简单粗暴的东西都不会的话  这就简直太弱了 ToT

本蒟蒻自己写了一个Splay Tree,还没有完全完成。Splay部分可以合并得更加简单,我写复杂了懒得改,相当于纯把几种情况进行了分类处理

bubuko.com,布布扣
  1 #include<cstdio>
  2 #include<algorithm>
  3 #include<iostream>
  4 #define ie(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
  5 using namespace std;
  6 
  7 const int maxn=65536;
  8 int k,m,x,y,root,tot;
  9 int fa[maxn],lc[maxn],rc[maxn],dat[maxn],cou[maxn];
 10 
 11 void zig(int x)
 12 {
 13     int fx=fa[x],fy=fa[fx];
 14     if(!fx)return;
 15     if(rc[x])
 16     {
 17         lc[fx]=rc[x];fa[rc[x]]=fx;
 18     }else lc[fx]=0;
 19     if(fy)
 20         if(lc[fy]==fx)lc[fy]=x;else rc[fy]=x;
 21     fa[fx]=x;rc[x]=fx;fa[x]=fy;
 22 }
 23 
 24 void zag(int x)
 25 {
 26     int fx=fa[x],fy=fa[fx];
 27     if(!fx)return;
 28     if(lc[x])
 29     {
 30         rc[fx]=lc[x];fa[lc[x]]=fx;
 31     }else rc[fx]=0;
 32     if(fy)
 33         if(lc[fy]==fx)lc[fy]=x;else rc[fy]=x;
 34     fa[fx]=x;lc[x]=fx;fa[x]=fy;
 35 }
 36 
 37 
 38 void splay(int x)//y-fx x-x
 39 {
 40     while(fa[x])
 41     {
 42         int fx=fa[x],fy=fa[fx];
 43         if(!fy)
 44         {
 45             if(lc[fx]==x)zig(x); else zag(x);
 46         }else
 47         if(lc[fx]==x&&lc[fy]==fx)
 48         {
 49             zig(fx);zig(x);
 50         }else
 51         if(lc[fx]==x&&rc[fy]==fx)
 52         {
 53             zag(fx);zig(x);
 54         }else
 55         if(rc[fx]==x&&lc[fy]==fx)
 56         {
 57             zig(fx);zag(x);
 58         }else
 59         if(rc[fx]==x&&rc[fy]==fx)
 60         {
 61             zag(x);zag(y);
 62         }
 63    }
 64    root=x;
 65 }
 66 
 67 void insert(int s,int x)
 68 {
 69     int pre=s;
 70     while(s)
 71     {
 72         pre=s;
 73         if(x==dat[s]){++cou[s];splay(s);return;}
 74         s=(x<dat[s])?lc[s]:rc[s];
 75     }
 76     fa[++tot]=pre;dat[tot]=x;cou[tot]++;
 77     //if(!pre)root=tot;
 78     if(x<dat[pre])lc[pre]=tot; else rc[pre]=tot;
 79     splay(tot);
 80 }
 81 
 82 int find(int s,int x,int y)
 83 {
 84     int pre=s;
 85     while(s)
 86     {
 87         pre=s;
 88         if(x==dat[s]){splay(s);if(y==1)return cou[s];else return s;}
 89         s=(x<dat[s])?lc[s]:rc[s];
 90     }
 91     splay(s);
 92     return 0;
 93 }
 94 
 95 void check(int s)
 96 {
 97     if(lc[s])check(lc[s]);
 98     printf("%d ",dat[s]);
 99     if(rc[s])check(rc[s]);
100 }
101 
102 int main()
103 {
104     scanf("%d",&m);
105     while(m--)
106     {
107         scanf("%d",&k);
108         switch(k) 
109         {
110             case 1:{scanf("%d",&x);insert(root,x);break;}    
111             case 2:{scanf("%d %d",&x,&y);printf("%d\n",find(root,x,y));break;}        
112             case 5:{check(root);cout <<endl;break;}
113         }
114     }
115 }
Splay Tree【Uncompleted】

对于操作:1是Insert(x);2是Find(x,k) k==1 返回该元素出现次数,k==2 返回该元素地址;5是中序遍历整棵树。

建议学习这一部分的骚年  自己写代码  嗯 That‘s all.

  1. Rotate要处理x,fa[x],fa[fa[x]]的父亲、孩子的关系
  2. Rotate中除了先读父亲的标号外,一律先把if语句全部写完(else等等),再分个写其余的赋值(为什么来着 囧 我忘了……)
  3. 还有 囧……我又忘了【待续】

 

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Splay Tree

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原文地址:http://www.cnblogs.com/lcj2018/p/3913519.html

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