标签：kruskal算法 break prim 轻量 更新 生成树 实现 步骤 合并
最小生成树
1.定义
2.kruskal 算法
3.Prim 算法
1.定义
G=(V,E)为连通无向图，V为结点的集合，E为结点的可能连接边
对每条边(u ,v)都赋予权重w(u ,v)
目标：找到一个无环子集T, 既能将所有结点连接起来，又具有最小权重。
T是由G生成的树，并把这种问题叫做最小生成树问题。
2.kruskal算法
主要思想：
将V的每个结点定义为一棵树，并定义根节点（代表）为该节点，将E中的边按权重从小到大依次处理。
首先判断边的两个结点是否属于同一棵树（根据根节点是否一致），若不是，则合并两棵树，并更新根节点；若是，则不予理会。
（这里是为了形成无环集合，保证权重和最小
如下图f所示，结点i、g已合并为一棵树，根节点一致，所以ig边不再纳入集合）
global G
G.VV=char(97:105);
G.V=cell(9,1);
G.Adj={‘ab‘;‘ah‘;‘bc‘;‘bh‘;‘hi‘;‘hg‘;‘ig‘;‘gf‘;‘cf‘;‘cd‘;‘df‘;‘de‘;‘ef‘;‘ic‘};
G.Bdj=[4;8;8;11;7;1;6;2;4;7;14;9;10;2];
A=[];
for i=1:length(G.VV) %MAKE-SET
G.V{i}.p=G.VV(i);
G.V{i}.rank=0;
end
[wei,index]=sort(G.Bdj);
la=G.Adj(index);
for i=1:length(la)
x=la{i};
a1=find(G.VV==x(1));
a2=find(G.VV==x(2));
if find_set(a1)~=find_set(a2)
A=[A;x];
union(a1,a2);
end
end
function k= find_set(i)
%找到集合的代表，也就是根节点
global G
if G.V{i}.p~=G.VV(i)%这里的G.V{i}.p是G.VV(i)所在子树的根节点
%函数的目标是找到合并之后的树（集合）的的结点
j=find(G.VV==G.V{i}.p);
G.V{i}.p=find_set(j);%不断更新，直到找到集合的根节点
end
k=G.V{i}.p;
end
function union(i,a)
%合并两个集合，并更新集合的根节点
%更新的原则是看子树的结点数目，多的那个的子树的代表当根节点
%注意，这里并没有更新子树的根节点，这一步骤是在find_set里完成的
global G
x=find_set(i);
y=find_set(a);
aa=find(G.VV==x);
bb=find(G.VV==y);
if G.V{aa}.rank>G.V{bb}.rank
G.V{bb}.p=G.VV(aa);
else
G.V{aa}.p=G.VV(bb);
if G.V{aa}.rank==G.V{bb}.rank
G.V{bb}.rank=G.V{bb}.rank+1;
end
end
end
运行结果：
A =
hg
gf
ic
ab
cf
cd
ah
de
d=37
3.prim 算法
关于轻量级边的定义：
主要思想：
给定连通图G和任意根节点r，最小生成树从结点r开始，一直长大到覆盖V中所有结点为止，即不断寻找轻量级边以实现最小权重和
%最小生成树-prim算法
G.VV=char(97:105);
G.Adj={‘bh‘;‘ahc‘;‘bifd‘;‘cfe‘;‘df‘;‘cdeg‘;‘ihf‘;‘abig‘;‘cgh‘};%邻接链表
G.Bdj={[4 8];[4 11 8];[8 2 4 7];[7 14 9];[9 10];[4 14 10 2];[6 1 2];[8 11 7 1];[2 6 7]};%邻接链表对应权重
Q=G.VV;
Q(Q==G.VV(1))=[];
r=1;
x(r)=G.VV(1);%给定初始点
d=0;
while length(Q)~=0
[wei,index]=sort(unionwei(G,x,r));%！！！关键点，目的是横跨（V-Q,Q）的轻量级边的一个端点，即权重最小的一个点
u=unionla(G,x,r);
u=u(index);
for i=1:length(u)
if find(Q==u(i))
k=i;
break;
end
end
d=d+wei(k);
r=r+1;
x(r)=u(k);
Q(Q==u(k))=[];%找到后Q中删除，以保证每个点只被访问一次
end
fprintf(‘path:‘);x
fprint(‘\n‘);
fprintf(‘d= %d \n‘,d);
function wei0=unionwei( G,x,r )
%合并权重向量，方便排序
wei0=[];
for i=1:r
a=find(G.VV==x(i));
wei1=G.Bdj{a};
wei0=[wei0 wei1];
end
end
function la0 = unionla(G,x, r )
%合并权重对应的边
la0=[];
for i=1:r
a=find(G.VV==x(i));
la1=G.Adj{a};
la0=[la0 la1];
end
end
运行结果：
path:
x =
abhgfcide
d= 37
标签：kruskal算法 break prim 轻量 更新 生成树 实现 步骤 合并
原文地址：http://www.cnblogs.com/fanmu/p/6082152.html
