用 GSL 求解超定方程组及矩阵的奇异值分解(SVD)

最近在学习高动态图像（HDR）合成的算法，其中需要求解一个超定方程组，因此花了点时间研究了一下如何用 GSL 来解决这个问题。

GSL 里是有最小二乘法拟合（Least-Squares Fitting）的相关算法，这些算法的声明在 gsl_fit.h 中，所以直接用 GSL 提供的 gsl_fit_linear 函数就能解决这个问题。不过我想顺便多学习一些有关 SVD 的知识。所以就没直接使用 gsl_fit_linear 函数。

SVD 分解的一些基本概念

关于 SVD 有两篇不错的科普文：

• A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix
• We Recommend a Singular Value Decomposition

建议大家找来读读，这两篇文章似乎都已经有人翻译成中文了。

所谓 SVD，就是把一个矩阵 $A_{m \times n}$ 分解为三个特殊矩阵 $U_{m \times n}$、$S_{n \times n}$、$V_{n \times n}$ 的乘积。

$$A_{m \times n} = U_{m \times n} \cdot S_{n \times n} \cdot V_{n \times n}^T$$

上面式子中的 $T$ 表示矩阵的转置。分解之后的这三个矩阵还要满足些特殊条件，其中 $U_{m \times n}$ 和 $V_{n \times n}$ 是正交矩阵，也就是满足：

$$U^{T} \cdot U = I\V^{T} \cdot V = I$$

矩阵 $S$ 是对角矩阵，只有主对角线上的元素非 $0$。

因为矩阵 $U_{m \times n}$、$S_{n \times n}$、$V_{n \times n}$ 的都具有很好的性质，所以这样的分解可以更好的帮助我们了解原始矩阵 $A$ 的性质。

举例来说，如果矩阵 $A$ 是个满秩方阵，那么 $A$ 是可逆的。$A$ 的逆可以写为:

$$A^{-1} = V \cdot S^{-1} \cdot U^{T}$$

这里 $V$ 和 $U$ 因为是正交矩阵，所以 $V^{-1} = V^{T}$， $U^{-1} = U^{T}$。$S$ 是对角矩阵，求逆也很简单，就是把主对角线上每个元素取个倒数而已。

GSL 中的相关函数

gsl 中提供了好几个函数来计算 SVD：

• gsl_linalg_SV_decomp 这个是最基本的，使用 Golub-Reinsch SVD 算法，一般我们用这个就够了。
• gsl_linalg_SV_decomp_mod 这个是改进后的 Golub-Reinsch SVD 算法，当 $M \gg N$ 时比 Golub-Reinsch SVD 算法要快。
• gsl_linalg_SV_decomp_jacobi 这个算法用到了 Jacobi 正交化，号称计算结果比 Golub-Reinsch SVD 算法要更准确。

除此之外，还有个 gsl_linalg_SV_solve 函数。这个就是利用 SVD 的结果来求解线性代数方程组的。

把这几个函数组合一下就可以合成一个求解线性代数方程组 $A \cdot x = b$的函数了。

下面是函数代码：

    void linearSolve_SVD(const gsl_matrix * A, const gsl_vector * b, gsl_vector * x)
    {
        int rows = A->size1;
        int cols = A->size2;
        gsl_vector * work = gsl_vector_alloc (cols);
        gsl_vector * S = gsl_vector_alloc (cols);
        gsl_matrix * U = gsl_matrix_alloc(rows, cols);;
        gsl_matrix * V = gsl_matrix_alloc(cols, cols);

        gsl_matrix_memcpy (U, A); // 为了不破坏 A 中原始的数据，这里全都拷贝到 U 中

        gsl_linalg_SV_decomp( U, V, S, work );
        gsl_linalg_SV_solve ( U, V, S, b, x );

        gsl_vector_free(work);
        gsl_vector_free(S);
        gsl_matrix_free(V);
        gsl_matrix_free(U);
    }

当 $A$ 是满秩方阵时，计算出来的 $x$ 就是我们一般意义上的方程的解。

下面举一个具体的例子：

$$\begin{pmatrix} 1.4& 2.1 & 2.1 & 7.4 & 9.6 \1.6 & 1.5 & 1.1 & 0.7 & 5.0\3.8 & 8.0 & 9.6 & 5.4 & 8.8\4.6 & 8.2 & 8.4 & 0.4 & 8.0\2.6 & 2.9 & 0.1 & 9.9 & 7.7 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 1.1\ 1.6\ 4.7\ 9.1\ 0.1 \end{pmatrix}$$

下面是测试代码：

    void test1()
    {
        double a_data[] = {1.4, 2.1, 2.1, 7.4, 9.6,
                           1.6, 1.5, 1.1, 0.7, 5.0,
                           3.8, 8.0, 9.6, 5.4, 8.8,
                           4.6, 8.2, 8.4, 0.4, 8.0,
                           2.6, 2.9, 0.1, 9.9, 7.7};
        gsl_matrix_view A = gsl_matrix_view_array (a_data, 5, 5);

        double b_data[] = {1.1, 1.6, 4.7, 9.1, 0.1};
        gsl_vector_view b = gsl_vector_view_array (b_data, 5);

        gsl_vector * x = gsl_vector_alloc (5);

        linearSolve_SVD(&A.matrix, &b.vector, x);
        gsl_vector_fprintf (stdout, x, "%f");

        qDebug() << "";
        gsl_vector * bb = gsl_vector_alloc (5);
        gsl_blas_dgemv (CblasNoTrans, 1, &A.matrix, x, 0, bb);

        gsl_vector_fprintf (stdout, bb, "%f");
    }

输出结果如下：

-5.208566
5.736694
-2.537472
-1.029814
0.968151

1.100000
1.600000
4.700000
9.100000
0.100000

可以看出计算结果还是很准确的。

当 $A$ 的行数大于列数时求得的是最小二乘意义下的解，也就是 $||A \cdot x - b||_2$ 最小的解。下面给个例子：

$$\begin{pmatrix} 2 & 4 \3 & -5\1 & 2\\end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 11\ 3\ 6 \end{pmatrix}$$

测试代码如下：

    void test3()
    {
        double a_data[] = {2, 4,
                           3, -5,
                          1, 2};
        gsl_matrix_view A = gsl_matrix_view_array (a_data, 3, 2);

        double b_data[] = {11, 3, 6};
        gsl_vector_view b = gsl_vector_view_array (b_data, 3);

        gsl_vector * x = gsl_vector_alloc (2);

        linearSolve_SVD(&A.matrix, &b.vector, x);
        gsl_vector_fprintf (stdout, x, "%f");

        qDebug() << "";
        gsl_vector * bb = gsl_vector_alloc (3);
        gsl_blas_dgemv (CblasNoTrans, 1, &A.matrix, x, 0, bb);

        gsl_vector_fprintf (stdout, bb, "%f");
    }

计算结果如下：

3.090909
1.254545

11.200000
3.000000
5.600000

如果 $A$ 不满秩，那么 $x$ 是不唯一的。这时算出来的其中一个解。 下面给个例子：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \2 & 4 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 3\6 \end{pmatrix}$$

方程很简单，口算就可以出结果，这个方程的解是：

$$x = \begin{pmatrix} 1\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\1 \end{pmatrix} \cdot t$$
下面用我们的代码计算一下。

    void test4()
    {
        double a_data[] = {1, 2,
                          2, 4};
        gsl_matrix_view A = gsl_matrix_view_array (a_data, 2, 2);

        double b_data[] = {3, 6};
        gsl_vector_view b = gsl_vector_view_array (b_data, 2);

        gsl_vector * x = gsl_vector_alloc (2);

        linearSolve_SVD(&A.matrix, &b.vector, x);
        gsl_vector_fprintf (stdout, x, "%f");

        qDebug() << "";
        gsl_vector * bb = gsl_vector_alloc (2);
        gsl_blas_dgemv (CblasNoTrans, 1, &A.matrix, x, 0, bb);

        gsl_vector_fprintf (stdout, bb, "%f");
    }

结果是：

-3.400000
3.200000

3.000000
6.000000

可以验算，$(-3.4 ,3.2)^T$ 确实是方程的一个解。其实用 SVD 我们可以求出方程的全部解的，但是我们需要 $S$ 和 $V$ 的值，所以上面的 linearSolve_SVD 函数就不够用了。

下面我们将 SVD 相关的功能封装成一个类，以方便我们提取 $S$ 和 $V$ 的值。
另外，当我们一个 $A$ 有多组 $x$ 需要求解时，也只需要计算一次 SVD 分解，用下面的类能减少很多计算量。

头文件如下：

    #ifndef GSLSINGULARVALUEDECOMPOSITION_H
    #define GSLSINGULARVALUEDECOMPOSITION_H

    #include <gsl/gsl_matrix.h>
    #include <gsl/gsl_vector.h>
    #include <gsl/gsl_blas.h>
    #include <gsl/gsl_linalg.h>
    #include <gsl/gsl_errno.h>

    void linearSolve_SVD(const gsl_matrix * A, const gsl_vector * b, gsl_vector * x);

    class GslSVD
    {
    public:
        GslSVD();
        ~GslSVD();
        int SV_decomp(const gsl_matrix * A);
        int SV_decomp_mod(const gsl_matrix * A);
        int SV_decomp_jacobi (gsl_matrix * A);
        int SV_solve(const gsl_vector *b, gsl_vector *x);

        gsl_vector * getVectorS();
        gsl_matrix * getMatrixU();
        gsl_matrix * getMatrixV();

        int trimVectorS(double abseps);
    private:
        gsl_vector * S;
        gsl_matrix * U;
        gsl_matrix * V;

        void alloc_suv(int rows, int cols);
    };

    #endif // GSLSINGULARVALUEDECOMPOSITION_H

cpp 文件如下:

    #include "gsl_SVD.h"

    void linearSolve_SVD(const gsl_matrix * A, const gsl_vector * b, gsl_vector * x)
    {
        int rows = A->size1;
        int cols = A->size2;
        gsl_vector * work = gsl_vector_alloc (cols);
        gsl_vector * S = gsl_vector_alloc (cols);
        gsl_matrix * U = gsl_matrix_alloc(rows, cols);;
        gsl_matrix * V = gsl_matrix_alloc(cols, cols);

        gsl_matrix_memcpy (U, A); // 为了不破坏 A 中原始的数据，这里全都拷贝到 U 中

        gsl_linalg_SV_decomp( U, V, S, work );
        gsl_linalg_SV_solve ( U, V, S, b, x );

        gsl_vector_free(work);
        gsl_vector_free(S);
        gsl_matrix_free(V);
        gsl_matrix_free(U);
    }
    int GslSVD::trimVectorS(double abseps)
    {
        int count = 0;
        for(int i = 0; i < S->size; i++)
        {
            if(fabs(gsl_vector_get(S, i)) < abseps)
            {
                count ++;
                gsl_vector_set(S, i, 0);
            }
        }
        return count;
    }

    gsl_vector * GslSVD::getVectorS()
    {
        if(S == NULL) return NULL;
        gsl_vector * s = gsl_vector_alloc(S->size);
        gsl_vector_memcpy(s, S);
        return s;
    }

    gsl_matrix * GslSVD::getMatrixU()
    {
        if(U == NULL) return NULL;
        gsl_matrix * u = gsl_matrix_alloc(U->size1, U->size2);
        gsl_matrix_memcpy(u, U);
        return u;
    }

    gsl_matrix * GslSVD::getMatrixV()
    {
        if(V == NULL) return NULL;
        gsl_matrix * v = gsl_matrix_alloc(V->size1, V->size2);
        gsl_matrix_memcpy(v, V);
        return v;
    }

    GslSVD::GslSVD()
    {
        S = NULL;
        U = NULL;
        V = NULL;
    }

    void GslSVD::alloc_suv(int rows, int cols)
    {
        if( S != NULL )
        {
            gsl_vector_free(S);
            gsl_matrix_free(U);
            gsl_matrix_free(V);
        }
        S = gsl_vector_alloc (cols);
        U = gsl_matrix_alloc(rows, cols);
        V = gsl_matrix_alloc(cols, cols);
    }

    int GslSVD::SV_decomp(const gsl_matrix * A)
    {
        int rows = A->size1;
        int cols = A->size2;

        gsl_vector * work = gsl_vector_alloc (cols);

        alloc_suv(rows, cols);
        gsl_matrix_memcpy (U, A); // 为了不破坏 A 中原始的数据，这里全都拷贝到 U 中
        int ret = gsl_linalg_SV_decomp( U, V, S, work );

        gsl_vector_free(work);

        return ret;
    }

    int GslSVD::SV_decomp_mod(const gsl_matrix * A)
    {
        int rows = A->size1;
        int cols = A->size2;

        gsl_vector * work = gsl_vector_alloc (cols);
        gsl_matrix *X = gsl_matrix_alloc(cols, cols);

        alloc_suv(rows, cols);
        gsl_matrix_memcpy (U, A); // 为了不破坏 A 中原始的数据，这里全都拷贝到 U 中
        int ret = gsl_linalg_SV_decomp_mod( U, X, V, S, work );

        gsl_matrix_free(X);
        gsl_vector_free(work);

        return ret;
    }

    int GslSVD::SV_decomp_jacobi (gsl_matrix * A)
    {
        int rows = A->size1;
        int cols = A->size2;
        alloc_suv(rows, cols);
        gsl_matrix_memcpy (U, A); // 为了不破坏 A 中原始的数据，这里全都拷贝到 U 中
        int ret = gsl_linalg_SV_decomp_jacobi( U, V, S );
        return ret;
    }

    int GslSVD::SV_solve(const gsl_vector *b, gsl_vector *x)
    {
        if(U != NULL)
        {
            return gsl_linalg_SV_solve (U, V, S, b, x);
        }
        return -1;
    }

    GslSVD::~GslSVD()
    {
        if(S != NULL)
        {
            gsl_vector_free(S);
            gsl_matrix_free(V);
            gsl_matrix_free(U);
        }
    }

下面用这个类来计算一下刚才的问题：

    void test5()
    {
        double a_data[] = {1, 2,
                           2, 4};
        gsl_matrix_view A = gsl_matrix_view_array (a_data, 2, 2);
        GslSVD svd;
        svd.SV_decomp(&A.matrix);

        puts("S = ");
        gsl_vector_fprintf (stdout, svd.getVectorS(), "%f");

        puts("\nV = ");
        gsl_matrix_fprintf (stdout, svd.getMatrixV(), "%f");

        double b_data[] = {3, 6};
        gsl_vector_view b = gsl_vector_view_array (b_data, 2);
        gsl_vector * x = gsl_vector_alloc (2);
        svd.SV_solve(b, x);

        puts("\nx = ");
        gsl_vector_fprintf (stdout, x, "%f");
    }

结果如下：

S =
5.000000
0.000000

V =
-0.447214
-0.894427
-0.894427
0.447214

x =
-3.400000
3.200000

我们注意到 $S$ 的第二个元素是 $0$，这表明 $V$ 的对应列（第二列）是方程解的自由向量。所以我们方程的解可以写为：

$$x = \begin{pmatrix} -3.4\3.2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.894427\0.447214 \end{pmatrix} \cdot t$$

大家可以验证一下，这个解是正确的。

另外，我写的类中还提供了一个 trimVectorS(double abseps) 函数，利用这个函数，可以将 $S$ 所有小于 abseps 的项直接替换为 $0$。之所以提供了这个函数，是因为由于计算误差等的影响，$S$ 中一些本应该是 $0$ 的项可能计算出的结果不是 $0$。用这个函数就可以解决这个问题。还有些矩阵，条件数很大，方程呈现病态，用这个函数也能解决些问题。

好了，就先写这么多。希望对大家有用。