有一个六位数，当它分别乘以2，3，4，5，6，得到的结果，依然是一个六位数，所有的数字相同

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1：
这个问题体现了数字里无穷的知识。
“7”就是其中之一。
1/7=0.142857 142857 142857 ...
2/7=0.285714 285714 285714 ...
3/7=0.428571 428571 428571 ...
4/7=0.571428 571428 571428 ...
5/7=0.714285 714285 714285 ...
6/7=0.857142 857142 857142 ...
 就是这么神奇，6个分数都是由同样的“6”个数字构成，仅差在数字的位置上。
而位置又不是无规律的变化.
仔细观察后会发现，“6”个数字的位置只是前后的移动，丝毫不乱。
这6个分数的倍数关系决定了 “6”个循环节之间的倍数关系。
所以：142857: 285714: 428571: 571428: 714285: 857142 =1: 2: 3: 4: 5: 6
当然，我们也可以通过计算，得出结果。
过程如下： 假设有一个“6”位数，如果将它的最高位数移到个位，得到的新数就是原数的N倍。并且 2≤N≤6 。
首先，令原数的最高位数等于 A ；其余5位等于 B ，倍数等于 N , 且: 2≤N≤6 。
那么，原数可表示为100000A＋B ；
移位后的新数就可以表达为 10B＋A
建立等式关系：10B＋A=N×(100000A＋B)
通过讨论,N =2、4、5、6 均不可。
N 当且仅当等于 3 等式可变为：10B＋A=3×(100000A＋B)
7B=2999999A
B=42857A
再通过讨论，A 只能 取1 ， B得 42857
得出原数为： 142857 将 142857 分别移动 1 位 、 2 位、3  位 、4 位 、5 位 后，得到的新数不难发现它们与原数之间的倍数关系。
2：
首先假设所求六位数表示为abcdef 

根据题意可知a,b,c,c,d,e,f是互不相等的6个数字，且都不为0，其中最高位a=1。

由abcdef*5的结果末位不为0得a,b,c,c,d,e中有一个为5，并且f是基数。但f不为5（因为abcde5乘以2，4，6结果末位都是0）。

那么f=3或7或9。在分别乘以 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 看看末位数字：

3* 3 ，6 ，9 ，2 ，5 ，8 （6个不同数字，这还没算1）

7* 7 ，4 ，1 ，8 ，5 ，2 （包括1有6个不同数字）

9* 9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 （6个不同数字，这还没算1）

所以 f=7。且这6个数字为 1，2，4，5，7，8

因为1bcde7乘以2是2****4，而乘以3是4****1，所以 b=4。即14cde7。

那么14cde7乘以2是28cde4，所以 c=2。即142de7。

那么只有两中情况： 142587（舍弃）；因为142587*3=427761

或 142857（正确）。只有这一个正解

有一个六位数，当它分别乘以2，3，4，5，6，得到的结果，依然是一个六位数，所有的数字相同

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原文地址：http://www.cnblogs.com/wendu/p/6163995.html