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假设有一个房屋销售的数据如下：这个表类似于北京5环左右的房屋价钱，我们可以做出一个图，x轴是房屋的面积。y轴是房屋的售价，如下：
如果来了一个新的面积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？
我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输入过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合，可能是下面
的样子：绿色的点就是我们想要预测的点。
首先给出一些概念和常用的符号。
房屋销售记录表：训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输入数据，一般称为x
房屋销售价钱：输出数据，一般称为y
拟合的函数（或者称为假设或者模型）：一般写做 y = h(x)
训练数据的条目数(#training set),：一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的输入数据的维度n (特征的个数，#features)
这个例子的特征是两维的，结果是一维的。然而回归方法能够解决特征多维，结果是一维多离散值或一维连续值的问题。
3 学习过程
下面是一个典型的机器学习的过程，首先给出一个输入数据，我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数，这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计，也被称为构建一个模型。就如同上面的线性回归函数。
4 线性回归
线性回归假设特征和结果满足线性关系。其实线性关系的表达能力非常强大，每个特征对结果的影响强弱可以由前面的参数体现，而且每个特征变量可以首先映射到一个函数，然后再参与线性计算。这样就可以表达特征与结果之间的非线性关系。
我们用X1，X2..Xn 去描述feature里面的分量，比如x1=房间的面积，x2=房间的朝向，等等，我们可以做出一个估计函数：
θ在这儿称为参数，在这的意思是调整feature中每个分量的影响力，就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。为了如果我们令X0 = 1，就可以用向量的方式来表示了：
我们程序也需要一个机制去评估我们θ是否比较好，所以说需要对我们做出的h函数进行评估，一般这个函数称为损失函数（loss function）或者错误函数(error function)，描述h函数不好的程度，在下面，我们称这个函数为J函数
在这儿我们可以认为错误函数如下：
这个错误估计函数是去对x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方和作为错误估计函数，前面乘上的1/2是为了在求导的时候，这个系数就不见了。
至于为何选择平方和作为错误估计函数，讲义后面从概率分布的角度讲解了该公式的来源。
如何调整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法，其中有最小二乘法(min square)，是一种完全是数学描述的方法，和梯度下降法。
5 梯度下降法
在选定线性回归模型后，只需要确定参数θ，就可以将模型用来预测。然而θ需要在J(θ)最小的情况下才能确定。因此问题归结为求极小值问题，使用梯度下降法。梯度下降法最大的问题是求得有可能是全局极小值，这与初始点的选取有关。
梯度下降法是按下面的流程进行的：
1）首先对θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量。
2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。
梯度方向由J(θ)对θ的偏导数确定，由于求的是极小值，因此梯度方向是偏导数的反方向。结果为
迭代更新的方式有两种，一种是批梯度下降，也就是对全部的训练数据求得误差后再对θ进行更新，另外一种是增量梯度下降，每扫描一步都要对θ进行更新。前一种方法能够不断收敛，后一种方法结果可能不断在收敛处徘徊。
一般来说，梯度下降法收敛速度还是比较慢的。
另一种直接计算结果的方法是最小二乘法。
6 最小二乘法
将训练特征表示为X矩阵，结果表示成y向量，仍然是线性回归模型，误差函数不变。那么θ可以直接由下面公式得出
但此方法要求X是列满秩的，而且求矩阵的逆比较慢。
7 选用误差函数为平方和的概率解释
假设根据特征的预测结果与实际结果有误差，那么预测结果
和真实结果
满足下式：
一般来讲，误差满足平均值为0的高斯分布，也就是正态分布。那么x和y的条件概率也就是
这样就估计了一条样本的结果概率，然而我们期待的是模型能够在全部样本上预测最准，也就是概率积最大。注意这里的概率积是概率密度函数积，连续函数的概率密度函数与离散值的概率函数不同。这个概率积成为最大似然估计。我们希望在最大似然估计得到最大值时确定θ。那么需要对最大似然估计公式求导，求导结果既是
这就解释了为何误差函数要使用平方和。
当然推导过程中也做了一些假定，但这个假定符合客观规律。
8 带权重的线性回归
上面提到的线性回归的误差函数里系统都是1，没有权重。带权重的线性回归加入了权重信息。
基本假设是
其中假设符合公式
其中x是要预测的特征，这样假设的道理是离x越近的样本权重越大，越远的影响越小。这个公式与高斯分布类似，但不一样，因为不是随机变量。
此方法成为非参数学习算法，因为误差函数随着预测值的不同而不同，这样θ无法事先确定，预测一次需要临时计算，感觉类似KNN。
9 分类和logistic回归
一般来说，回归不用在分类问题上，因为回归是连续型模型，而且受噪声影响比较大。如果非要应用进入，可以使用logistic回归。
logistic回归本质上是线性回归，只是在特征到结果的映射中加入了一层函数映射，即先把特征线性求和，然后使用函数g(z)将最为假设函数来预测。g(z)可以将连续值映射到0和1上。
logistic回归的假设函数如下，线性回归假设函数只是。
logistic回归用来分类0/1问题，也就是预测结果属于0或者1的二值分类问题。这里假设了二值满足伯努利分布，也就是
当然假设它满足泊松分布、指数分布等等也可以，只是比较复杂，后面会提到线性回归的一般形式。
与第7节一样，仍然求的是最大似然估计，然后求导，得到迭代公式结果为
可以看到与线性回归类似，只是换成了
，而
实际上就是
经过g(z)映射过来的。
10 牛顿法来解最大似然估计
第7和第9节使用的解最大似然估计的方法都是求导迭代的方法，这里介绍了牛顿下降法，使结果能够快速的收敛。
当要求解时，如果f可导，那么可以通过迭代公式
来迭代求解最小值。
当应用于求解最大似然估计的最大值时，变成求解最大似然估计概率导数的问题。
那么迭代公式写作
当θ是向量时，牛顿法可以使用下面式子表示
其中是n×n的Hessian矩阵。
牛顿法收敛速度虽然很快，但求Hessian矩阵的逆的时候比较耗费时间。
当初始点X0靠近极小值X时，牛顿法的收敛速度是最快的。但是当X0远离极小值时，牛顿法可能不收敛，甚至连下降都保证不了。原因是迭代点Xk+1不一定是目标函数f在牛顿方向上的极小点。
11 一般线性模型
之所以在logistic回归时使用 的公式是由一套理论作支持的。
这个理论便是一般线性模型。
首先，如果一个概率分布可以表示成
时，那么这个概率分布可以称作是指数分布。
伯努利分布，高斯分布，泊松分布，贝塔分布，狄特里特分布都属于指数分布。
在logistic回归时采用的是伯努利分布，伯努利分布的概率可以表示成
其中
得到
这就解释了logistic回归时为了要用这个函数。
一般线性模型的要点是
1） 满足一个以
为参数的指数分布，那么可以求得
的表达式。
2） 给定x，我们的目标是要确定，大多数情况下
，那么我们实际上要确定的是
，而
。（在logistic回归中期望值是
，因此h是
；在线性回归中期望值是
，而高斯分布中
，因此线性回归中h=
）。
3）
12 Softmax回归
最后举了一个利用一般线性模型的例子。
假设预测值y有k种可能，即y∈{1,2,…,k}
比如k=3时，可以看作是要将一封未知邮件分为垃圾邮件、个人邮件还是工作邮件这三类。
定义
那么
这样
即式子左边可以有其他的概率表示，因此可以当作是k-1维的问题。
为了表示多项式分布表述成指数分布，我们引入T(y)，它是一组k-1维的向量，这里的T(y)不是y，T(yi)表示T(y)的第i个分量。
应用于一般线性模型，结果y必然是k中的一种。1{y=k}表示当y=k的时候，1{y=k}=1。那么p(y)可以表示为
其实很好理解，就是当y是一个值m（m从1到k）的时候，p(y)=，然后形式化了一下。
那么
最后求得
而y=i时
求得期望值
那么就建立了假设函数，最后就获得了最大似然估计
对该公式可以使用梯度下降或者牛顿法迭代求解。
解决了多值模型建立与预测问题。
学习总结
该讲义组织结构清晰，思路独特，讲原因，也讲推导。可贵的是讲出了问题的基本解决思路和扩展思路，更重要的是讲出了为什么要使用相关方法以及问题根源。在看似具体的解题思路中能引出更为抽象的一般解题思路，理论化水平很高。
该方法可以用在对数据多维分析和多值预测上，更适用于数据背后蕴含某种概率模型的情景。
几个问题
1：采用迭代法的时候，步长怎么确定比较好
2：最小二乘法的矩阵形式是否一般都可用
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