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题目:天真的因数分解
题目描述:
小岛: 什么叫做因数分解呢?
doc : 就是将给定的正整数n, 分解为若干个素数连乘的形式.
小岛: 那比如说 n=12 呢?
doc : 那么就是 12 = 2 * 2 * 3 呀.
小岛: 呜呜, 好难, 居然素数会重复出现, 如果分解后每一个素数都只出现一次, 我就会.
wish: 这样来说, 小岛可以正确分解的数字不多呀.
doc : 是呀是呀.
wish: 现在问题来了, 对于给定的k, 第 k 个小岛无法正确分解的数字是多少?
分析：
（1）很明显，本题要你求出第N个mobius[i]==0的数。算法一： 求出mobius函数后回答询问，可以得30分。
（2）考虑函数$f_x=\sum_{i \leq x \&\& mobius[i]==0}1$的值，显然，这个函数满足单调性。算法二：可以二分x，询问$f_x$，比较k与$f_x$的大小。
（2.1）如何快速求$f_x$？考虑容斥原理。$f_x=\sum_i -mobius[i]*{n \over {i^2}}$。显然$i \leq \sqrt{n}$。令$mo[i]=mobius[i]$即如果有平方因子，赋值为0，否则有奇数个因子赋值为1，偶数个赋值为-1。使用线性筛法求mobius函数。
（2.2）二分的上界可以试一试，这里直接提供：（25505460948）。
代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 #define LL long long 4 const LL INF=25505460948ll; 5 bool v[1000005]; 6 int p[1000005],mo[1000005]; 7 void GetMo(){ 8 const int N=1000000; 9 for(int i=2;i<=N;++i){ 10 if(!v[i]){p[++p[0]]=i;mo[i]=1;} 11 for(int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<=N;++j){ 12 v[i*p[j]]=true; 13 if(i%p[j]==0){mo[i*p[j]]=0;break;} 14 mo[i*p[j]]=-mo[i]; 15 } 16 } 17 } 18 LL check(LL x){ 19 LL sum=0; 20 for(LL i=1;i*i<=x;++i) 21 sum+=mo[i]*x/(i*i); 22 return sum; 23 } 24 int main(){ 25 //freopen("in.txt","r",stdin); 26 GetMo(); 27 LL k,l=0,r=INF,mid; 28 scanf("%lld",&k); 29 for(;l<=r;){ 30 mid=(l+r)>>1; 31 if(check(mid)<k) 32 l=mid+1;else r=mid-1; 33 } 34 printf("%lld",l); 35 //fclose(stdin); 36 return 0; 37 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hjj1871984569/p/6224465.html
