机器学习：利用卷积神经网络实现图像风格迁移 (一)

相信很多人都对之前大名鼎鼎的 Prisma 早有耳闻，Prisma 能够将一张普通的图像转换成各种艺术风格的图像，今天，我们将要介绍一下Prisma 这款软件背后的算法原理。就是发表于 2016 CVPR 一篇文章，

“ Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks”

算法的流程图主要如下：

总得来说，就是利用一个训练好的卷积神经网络 VGG-19，这个网络在ImageNet 上已经训练过了。

给定一张风格图像 $a$ 和一张普通图像 $p$，风格图像经过VGG-19 的时候在每个卷积层会得到很多 feature maps, 这些feature maps 组成一个集合 $A$，同样的，普通图像 $p$ 通过 VGG-19 的时候也会得到很多 feature maps，这些feature maps 组成一个集合 $P$，然后生成一张随机噪声图像 $x$, 随机噪声图像 $x$ 通过VGG-19 的时候也会生成很多feature maps，这些 feature maps 构成集合 $G$ 和 $F$ 分别对应集合 $A$ 和 $P$, 最终的优化函数是希望调整 $x$ 让 随机噪声图像 $x$ 最后看起来既保持普通图像 $p$ 的内容, 又有一定的风格图像 $a$ 的风格。

content representation

在建立目标函数之前，我们需要先给出一些定义: 在CNN 中, 假设某一 layer 含有 $N_{l}$ 个 filters, 那么将会生成 $N_{l}$ 个 feature maps，每个 feature map 的维度为 $M_{l}$ , $M_{l}$ 是 feature map 的 高与宽的乘积。所以每一层 feature maps 的集合可以表示为 $F^{l} \in R^{N_{l} \times M_{l}}$ , $F_{ij}^{l}$ 表示第 $i$个 filter在 position $j$ 上的 activation。

所以，我们可以给出 content 的 cost function:

$$L_{content} (p,x,l) =\frac{1}{2}\sum_{ij} (F_{ij}^{l}-P_{ij}^{l})$$

style representation

为了建立风格的representation，我们先利用 Gram matrix 去表示每一层各个 feature maps 之间的关系，$G^{l} \in R^{N_{l} \times N_{l}}$ , $G_{ij}^{l}$ 是 feature maps $i, j$ 的内积：

$$G_{ij}^{l} =\sum_{k} F_{ik}^{l} F_{jk}^{l}$$

利用 Gram matrix，我们可以建立每一层的关于 style 的 cost :

$$E_{l} =\frac{1}{4N_{l}^{2}M_{l}^{2}} \sum_{i,j} (G_{ij}^{l} - A_{ij}^{l})^{2}$$

结合所有层，可以得到总的cost

$$L_{style} (a, x)= \sum_{l=0}^{L} w_{l} E_{l}$$

最后将 content 和 style 的 cost 相结合，最终可以得到:

$$L_{total} (p,a,x) =\alpha L_{content} (p,x) + \beta L_{style} (a, x)$$

$\alpha , \beta$ 表示权值，在建立 $L_{content}$ 的时候，用到了 VGG-19 的 conv4_2 层，而在建立 $L_{style}$ 的时候，用到了VGG-19 的 conv1_1, conv2_1, conv3_1, conv4_1 以及 conv5_1。

下一篇博客里，我们将介绍基于 TensorFlow 的代码实现。