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题面:一张无向带权连通图,点数n+1(标号0…n),边数m,现在有k个人在0号点,要求依次摧毁1,2,3….n号点.假如至少一个人经过了点x,就认为点x被摧毁了.只有编号比x小的点都被摧毁才能经过点x. k个人可以分头行动.被摧毁的点在摧毁之后可以经过.满足要求的前提下,求k个人经过的路径长度之和的最小值.(即每个人走过的路径长度加起来,一个人走一条路多次时长度应多次计算). n<=150,m<=20000,1<=k<=10,边权<=10000
分析:每个点都必须经过一次,有k个人,这让我们想到网络流中DAG的最小权路径覆盖问题,但这里的图是无向图且有一些经过顺序的限制,并且点和边都能够多次使用.不过,每个点都只会被摧毁一次,从这个角度入手,我们考虑一个人依次摧毁的所有点,它们一定满足编号递增,也就是”一个人摧毁了一个编号较小的点之后,如果没有停下,一定会摧毁一个编号比它更大的点”,这好像有一些DAG的特征.仔细观察,我们发现,如果一个人摧毁点u之后再去摧毁点v,所需经过的最短路径长度就是从u到v只经过编号小于v的点时的最短路,这个是可以预处理的.可以floyd,也可以n遍dijkstra.我觉得dijkstra比较好理解,每次跑经过编号小于s的点到达s的最短路,可以直接限制经过的点的编号.于是我们建出一个n+1个点的竞赛图,边都从编号小的点u指向编号大的点v,边权为一个人摧毁u后再前往v的最短路(经过编号小于v的点),如果u=0,表示从0前往v的最短路,同样经过编号小于v的点.
然后拆点,除了0和n,每个点拆成入点和出点(0只有出点,n只有入点)
对于一条边(u,v),从u的出点向v的入点连一条费用等于边权的边
从源点向1到n-1每个点的出点连一条流量为1费用为0的边
从源点向0连一条流量为k费用为0的边(限制k个人)
从每个点的入点向汇点连一条流量为1费用为0的边,这样的图上每个最大流的方案都对应一种可行的方案.跑最小费用最大流即可.
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; int n,m,k; int d[155][155]; namespace Mincost{ const int maxn=500,maxm=300000; struct edge{ int to,next,w,cost; }lst[maxm];int len=0,first[maxm]; void addedge(int a,int b,int w,int cost){ lst[len].to=b;lst[len].next=first[a];lst[len].w=w;lst[len].cost=cost;first[a]=len++; lst[len].to=a;lst[len].next=first[b];lst[len].w=0;lst[len].cost=-cost;first[b]=len++; } bool inq[maxn];int q[maxn],dis[maxn],vis[maxn],prt[maxn],head,tail,s,t,T; bool spfa(){ head=tail=0;q[tail++]=s;dis[s]=0;prt[s]=-1;vis[s]=++T;inq[s]=true; while(head!=tail){ int x=q[head++];head%=maxn;inq[x]=false; for(int pt=first[x];pt!=-1;pt=lst[pt].next){ if(lst[pt].w==0)continue; if(vis[lst[pt].to]!=T||dis[lst[pt].to]>dis[x]+lst[pt].cost){ dis[lst[pt].to]=dis[x]+lst[pt].cost;vis[lst[pt].to]=T; prt[lst[pt].to]=pt; if(!inq[lst[pt].to]){ q[tail++]=lst[pt].to;inq[lst[pt].to]=true;tail%=maxn; } } } } return vis[t]==T; } int mincost(){ int ans=0; while(spfa()){ ans+=dis[t]; for(int pt=prt[t];pt!=-1;pt=prt[lst[pt^1].to]){ lst[pt].w--;lst[pt^1].w++; } } return ans; } void build(){ memset(first,-1,sizeof(first)); s=2*n+1;t=2*n+2; addedge(s,0,k,0); for(int i=1;i<=n;++i)addedge(s,i,1,0); for(int i=1;i<=n;++i)addedge(n+i,t,1,0); for(int i=1;i<=n;++i)addedge(0,n+i,1,d[0][i]); for(int i=1;i<=n;++i){ for(int j=i+1;j<=n;++j){ addedge(i,n+j,1,d[i][j]); } } } }; namespace Init{ const int maxn=200,maxm=40005; struct edge{ int to,next,w; }lst[maxm];int len=1,first[maxn]; void addedge(int a,int b,int w){ lst[len].to=b;lst[len].next=first[a];lst[len].w=w;first[a]=len++; } int dis[maxn];bool vis[maxn]; struct node{ int v,d; node(int _v,int _d){ v=_v;d=_d; } bool operator <(const node &B)const{ return d>B.d; } }; void dijkstra(int s){ memset(vis,0,sizeof(vis)); priority_queue<node> q; q.push(node(s,0)); while(!q.empty()){ node tmp=q.top();q.pop(); if(vis[tmp.v])continue; vis[tmp.v]=true;dis[tmp.v]=tmp.d; for(int pt=first[tmp.v];pt;pt=lst[pt].next){ if(lst[pt].to<s&&!vis[lst[pt].to])q.push(node(lst[pt].to,lst[pt].w+tmp.d)); } } for(int i=0;i<=s;++i)d[i][s]=dis[i]; } void init(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); int a,b,w; for(int i=1;i<=m;++i){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);addedge(a,b,w);addedge(b,a,w); } memset(d,0x3f,sizeof(d)); for(int i=1;i<=n;++i)dijkstra(i); } }; int main(){ Init::init(); Mincost::build(); printf("%d\n",Mincost::mincost()); return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/liu-runda/p/6294382.html
