标签：euler prime unit 一段 zju 数据规模 不同 交换 ase
本文转自：http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
另外，莫比乌斯反演和杜教筛其他可转到 http://blog.leanote.com/post/totziens/%E8%8E%AB%E6%AF%94%E4%B9%8C%E6%96%AF%E5%8F%8D%E6%BC%94
笔者在刷题过程中遇到一些求积性函数前缀和的问题，其中有一类问题需要在低于线性时间复杂度的算法，今天就来浅析一下这类问题的求解方法，当作以后讲课使用的讲义。若之后有了新的研究，再来继续完善这篇文章。
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author: skywalkert
original article: http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
last update time : 2017-01-14
这种黑科技大概起源于Project Euler这个网站，由xudyh引入中国的OI、ACM界，目前出现了一些OI模拟题、OJ月赛题、ACM赛题是需要这种技巧在低于线性时间的复杂度下解决一类积性函数的前缀和问题。
首先看一个简单的例子，求前n个正整数的约数之和，即∑ni=1σ(i)，其中n≤1012。
显然不能直接做了，但是我们可以推导一番：
当i≤n√时，⌊ni⌋显然只有O(n√)个取值；当i>n√时，⌊ni⌋<n√显然也只有O(n√)个取值；对于固定的⌊ni⌋，i的取值是一段连续的区间，这段区间是[⌊n⌊ni⌋+1⌋+1,⌊n⌊ni⌋⌋]，因此可以O(n√)计算所求。
同样地，求前n个正整数的约数个数之和也可以这样计算，留给读者练习。
另外需要说明的是，∑ni=1⌊ni⌋⋅i=∑ni=1⌊ni⌋⋅(⌊ni⌋+1)2，这也是一种常见的表示形式。
现在我们来加大一点难度，求前n个正整数的欧拉函数之和，即∑ni=1φ(i)，其中n≤1011。
目前本文提到的有关欧拉函数的公式只有几个，是否能用它们来帮助化简呢？答案是肯定的，接下来我们就利用∑d|nφ(d)=n来化简这个式子。
这个公式也可以看成是φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)，设?(n)=∑ni=1φ(i)，则有
那么只要计算出O(n√)个?(⌊ni⌋)的值，就可以计算出?(n)，这样的复杂度又如何呢？
假设计算出?(n)的复杂度为T(n)，则有T(n)=O(n√)+∑n√i=1T(i)+T(ni)，这里只展开一层就可以了，更深层的复杂度是高阶小量，所以有T(n)=∑n√i=1O(i√)+O(ni−−√)=O(n34)。
由于?(n)是一个积性函数的前缀和，所以筛法也可以预处理一部分，假设预处理了前k个正整数的?(n)，且k≥n√，则复杂度变为T(n)=∑nki=1ni−−√=O(nk√)，当k=O(n23)时可以取到较好的复杂度T(n)=O(n23)。
之前利用φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)的地方是怎么想到的呢？不妨来看一下这个
如果能通过狄利克雷卷积构造一个更好计算前缀和的函数，且用于卷积的另一个函数也易计算，则可以简化计算过程。例如上题就是利用了φ∗I=id的性质，但一定注意，不是所有的这一类题都只用配个恒等函数I就可以轻松完事的，有时需要更细致的观察。
定义梅滕斯函数M(n)=∑ni=1μ(i)，给定正整数n，计算M(n)，其中n≤1011。
有了欧拉函数的经验，这次似乎就轻车熟路了吧，使用[n=1]=∑d|nμ(d)来试试？
因此M(n)=1−∑ni=2M(⌊ni⌋)，问题可在O(n23)时间复杂度下解决。
看了上面的例子，是不是认为这种做法很naive，很好学啊，再来看一个题吧！
令A(n)=∑ni=1i(n,i),F(n)=∑ni=1A(i)，求F(n)模(109+7)的值，其中n≤109。
先做一番化简，变成积性函数前缀和的样子：
设G(n)=2⋅F(n)−n，则
因此要求的是?′(n)=∑ni=1i⋅φ(i)。
而对于n=∏ti=1pkii，有
这并不是什么好算前缀和的函数。
但是不难发现(id⋅φ)∗id=id2，即
，这是一个很好计算前缀和的函数，于是有
因此?′(n)=n⋅(n+1)⋅(2n+1)6−∑ni=2i⋅?′(⌊ni⌋)，原问题可在预处理前O(n23)个值的基础上，在O(n23logn)的时间复杂度下解决。
但是注意到这种方法的常数与复杂度都可能较高，有时候可能再进行一些推导可以得到一个不使用正文方法的做法，例如ZOJ 3881 - From the ABC conjecture，本文的方法与网上一个解法类似，可以用于求解此题，但是可以这样推导之后得到更简单的一个做法。
需要使用此种方法的题目一般数据规模较大，例如n≤109,n≤1011,n≤1012，但是并不是都要使用此类方法，有时候可能存在其他O(n√),O(n23)的做法，例如51Nod 1222 - 最小公倍数计数，会利用正文复杂度分析的方法即可，再例如ZOJ 5340 - The Sum of Unitary Totient，笔者不是很懂这题是否有其他做法能过，例如O(n34logn)的积性函数求和方法（会在不久后更新），可能会因为数据组数较多而超时，网上的一个解法是分段压缩打表，具体问题需要具体分析。
这里给出一些练手的题目供大家理解上述方法，这类题还是较少的，如有其他题的题源欢迎分享。
51Nod 1244 - 莫比乌斯函数之和
51Nod 1239 - 欧拉函数之和
BZOJ 3944 - Sum
HDU 5608 - function
51Nod 1238 - 最小公倍数之和 V3
51Nod 1237 - 最大公约数之和 V3
51Nod 1227 - 平均最小公倍数
Tsinsen A1231 - Crash的数字表格
SPOJ DIVCNT2 - Counting Divisors (square)
51Nod 1222 - 最小公倍数计数（复杂度分析）
BZOJ 4176 - Lucas的数论
51Nod 1220 - 约数之和
51Nod 1584 - 加权约数和
ZOJ 3881 - From the ABC conjecture（不需要使用正文方法）
BZOJ 3512 - DZY Loves Math IV
ZOJ 5340 - The Sum of Unitary Totient（分段打表）
SPOJ DIVCNT3 - Counting Divisors (cube)（常规积性函数求和，注意代码长度限制）
51Nod 1575 - Gcd and Lcm（综合题，可分段打表）
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原文地址：http://www.cnblogs.com/L-Memory/p/6352107.html
