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今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
正解：线性筛+莫比乌斯反演
解题报告：
我跟网上的推导方法都不太一样，似乎我的更好理解一下吧...
下面是我的推导过程：
${\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)}$
${=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}}$
${=\sum_{g=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{g} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{g} \right \rfloor}\sum_{t|i,t|j}\mu (t)ijg}$
${=}$
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using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 10000011;
const int MOD = 20101009;
int n,m,cnt,ans;
int prime[MAXN],S[MAXN],f[MAXN];
bool vis[MAXN];
inline int getint(){
int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<‘0‘||c>‘9‘) && c!=‘-‘) c=getchar();
if(c==‘-‘) q=1,c=getchar(); while (c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar(); return q?-w:w;
}
inline void work(){
n=getint(); m=getint(); if(n>m) swap(n,m); LL now;
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) { prime[++cnt]=i; f[i]=-i+1; }
for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++) {
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) { f[i*prime[j]]=f[i]; break; }
now=(LL)f[i]*f[prime[j]]; now%=MOD;
f[i*prime[j]]=now;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) S[i]=S[i-1]+i,S[i]%=MOD;
for(int Q=1;Q<=n;Q++) {
now=(LL)S[n/Q]*S[m/Q]; now%=MOD;
now*=f[Q]; now%=MOD;
now*=Q; now%=MOD;
ans+=now; ans%=MOD;
}
ans+=MOD; ans%=MOD;
printf("%d",ans);
}
int main()
{
work();
return 0;
}
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原文地址：http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/6358095.html
