UOJ #122 【NOI2013】 树的计数

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题目链接：树的计数

　　这道题好神啊……正好有人讲了这道题，那么我就写掉吧……

　　首先，为了方便考虑，我们可以把节点重标号，使得\(bfs\)序变成\(1,2,3,……,n\)，那么显然树的深度就是\(dep_n\)。

　　然后，我们来考虑一下\(dfs\)序和\(bfs\)序的性质。设\(dfs\)序中的第\(i\)个点为\(d_i\)，那么显然有\(dep_{d_{i+1}} \le dep_{d_i}+1\)。由于我们已经进行了重标号，那么通过\(bfs\)序，我们可以得到\(dep_i \le dep_{i+1} \le dep_i+1\)。令\(pos_i\)表示节点\(i\)在\(dfs\)序中出现的位置，那么当\(dep_i=dep_{i+1}\)时，我们可以得到\(pos_i<pos_{i+1}\)。因为我们是按照\(bfs\)序编号的，所以对于同一深度的点，越早被\(dfs\)到编号就越小。

　　所以，我们建立一个数组\(s_i\)，\(s_i=1\)表示\(dep_{i+1}=dep_i+1\)，\(s_i=0\)表示\(dep_{i+1}=dep_i\)，那么显然\(s_1=1\)。并且当\(pos_i>pos_{i+1}\)时，我们可以推出\(s_i=1\)。因为上一段中提到了，如果\(dep_i=dep_{i+1}\)，则有\(pos_i<pos_{i+1}\)。

　　然后，我们接着考虑\(dfs\)序的限制。如果\(d_i<d_{i+1}\)，由于\(dep_{d_{i+1}}-dep_{d_i} \le 1\)，我们可以得到一个式子：

\[dep_{d_{i+1}}-dep_{d_i}=\sum_{j=d_i}^{d_{i+1}-1}s_j\]

　　于是我们可以得到一堆的约束条件。如果等号右边是\(0\)，那么这段区间的\(s_j\)就都是\(0\)了。剩下的可能不为\(0\)的\(s_j\)都有可能为\(1\)，而这些变量的取值和其他变量的取值无关，取到\(1\)的概率是\(0.5\)，对\(dep_n\)贡献为\(0.5\)。

　　最后，让我们来回顾一下算法流程：

　　1.确定所有的\(s_i\)必定等于\(1\)的位置

　　2.找出所有的限制条件

　　3.未被限制且不一定为\(1\)的点对答案贡献为\(0.5\)。

　　于是这道题就愉快地解决辣！(虽然我可能还是没有讲清楚)

　　参考博客：戳这里

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 200010

using namespace std;
typedef long long llg;

int d[maxn],n,a[maxn],s[maxn],w[maxn];
double ans;

int getint(){
	int w=0;bool q=0;
	char c=getchar();
	while((c>‘9‘||c<‘0‘)&&c!=‘-‘) c=getchar();
	if(c==‘-‘) c=getchar(),q=1;
	while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar();
	return q?-w:w;
}

int main(){
	File("a");
	n=getint(); w[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[d[i]=getint()]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) d[a[getint()]]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[d[i]]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++) if(a[i]<a[i-1]) s[i-1]++,s[i]--,w[i-1]++;
	for(int i=2;i<=n;i++) w[i]+=w[i-1]; ans=w[n];
	for(int i=2;i<=n;i++) if(d[i-1]<d[i] && w[d[i]-1]-w[d[i-1]-1]) s[d[i-1]]++,s[d[i]]--;
	for(int i=1,j=0;i<n;i++) j+=s[i],ans+=(bool)(!j)*0.5;
	printf("%.3lf",ans+1);
	return 0;
}

UOJ #122 【NOI2013】 树的计数

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原文地址：http://www.cnblogs.com/lcf-2000/p/6387918.html