基础数论

标签：扩展欧几里得算法   辗转相除法   数论   

就先从辗转相除法学起

int gcd(int a,int b)

{

if(a%b==0)

return b;

else

gcd(b,a%b);

}

证明：

另gcd(a,b)=d;

a=k1*d   b=k2*d;

a=p1*b+r1;

(k1-k2*p1)d = r1;  ---->d也可以整除r1------>gcd(a,b)既可以整除b又可以整除r1（a%b）------>gcd(a,b)<=gcd(b,r1);

gcd(b,r1)=d;

同理可证得gcd（a,b）>=gcd(b,r1)

所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

扩展欧几里得算法

int extfcd(int a,int b,int &x,int y)

{

int d=a;

if(b==0)

{

x=1;

y=0;

}

else{

d=extgcd(b,a%b,y,x);

y -=(a/b)*x;

}

return d;

}

证明：

ax+by=d;

(a-b)x+b(x+y)=d;

令a1 = a%b          另t= a/b（向下取整）

a=t*b+a1；

（a-tb）x+b(tx+y)=d;

将（a=t*b+a1）带入

另y1=tx+y;

则a1*x+b*y1=d;(注意系数的变化决定了extgcd(b,a%b,y,x);)

y=y1-tx=ye-(a/b)*x;

//借助定理：

对任意两个不全为零的整数a，b，
存在两个整数数列{Pn}与{Qn}，使得
Qk*a-pk*b=(-1)^(k-1)*rk
其中：
P0 = 1, P1 = q1
Pk = qk Pk-1 + Pk-2
Q0 = 0, Q1 = 1

 Qk = qkQk-1 + Qk-2

证明可使用数学归纳法证明

基础数论,布布扣,bubuko.com

基础数论

标签：扩展欧几里得算法   辗转相除法   数论   

原文地址：http://blog.csdn.net/liangdong2014/article/details/38728549