码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

导数——平均变化率与瞬时变化率

时间:2017-03-21 15:25:54      阅读:203      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:例题   时间   动物   单位   答案   观察   都对   ble   背景   

 

本讲教育信息

一. 教学内容:

       导数——平均变化率与瞬时变化率

 

二. 本周教学目标:

1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵.

2、通过函数图象直观理解导数的几何意义.

 

三. 本周知识要点:

(一)平均变化率

1、情境:观察某市某天的气温变化图

 

2、一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.

 

(二)瞬时变化率——导数

 

1、曲线的切线

如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线 c 上一点作割线PQ,当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P 处的切线

 

割线PQ的斜率为,即当时,无限趋近于点P的斜率.

2、瞬时速度与瞬时加速度

1)瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.

2)确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:

要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.

当位移足够小时,物体在这段时间内的运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度.

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为sst),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0t0t,现在问从t0t0t这段时间内,物体的位移、平均速度各是:

位移为Δsst0+Δt)-st0)(Δt称时间增量)

平均速度

根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t0t0+Δt,这段时间是Δt. 时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时,位移的平均变化率无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体在t= t0的瞬时速度

同样,计算运动物体速度的平均变化率,当Δt→0时,平均速度无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t= t0时的瞬时加速度.

3、导数

设函数在(a,b)上有定义,.若无限趋近于0时,比值 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作.

几何意义是曲线上点()处的切线的斜率.

导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作.

 

【典型例题】

1水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后容器甲中水的体积(单位:),计算第一个10s内V的平均变化率.

 

解:在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为

    

即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为.

 

2已知函数,,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数及的平均变化率.

解:函数在[-3,-1]上的平均变化率为

 

在[-3,-1]上的平均变化率为

 

函数在[0,5]上的平均变化率为

 

在[0,5]上的平均变化率为

 

 

3、已知函数,分别计算函数在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.

解:函数在区间[1,3]上的平均变化率为

 

函数在[1,2]上的平均变化率为

 

函数在[1,1.1]上的平均变化率为

 

函数在[1,1.001]上的平均变化率为

 

 

例4物体自由落体的运动方程sst)=gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8 m/s2. 求t=3这一时段的速度.

解:取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δsg(3+Δt2g·32=(6+ΔtΔt,平均速度g(6+Δt

Δt无限趋于0时,无限趋于3g=29.4 m/s.

 

例5已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),

(1)当t=2,Δt=0.01时,求.

(2)当t=2,Δt=0.001时,求.

(3)求质点Mt=2时的瞬时速度.

分析:Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,即平均速度,当Δt越小,求出的越接近某时刻的速度.

解:∵=4t+2Δt

∴(1)当t=2,Δt=0.01时,=4×2+2×0.01=8.02 cm/s.

(2)当t=2,Δt=0.001时,=4×2+2×0.001=8.002 cm/s.

(3) Δt0 (4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s 

 

例6曲线的方程为yx2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程.

解:设Q(1+,2+),则割线PQ的斜率为:

 

 

斜率为2

∴切线的斜率为2.

切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x

 

【模拟试题】

1、若函数f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy), 则=(   )

A. 4       B. 4Δx         C. 4+2Δx           D. 2Δx

2、一直线运动的物体,从时间到时,物体的位移为,那么时,为(     )

A. 从时间到时,物体的平均速度; B. 在时刻时该物体的瞬时速度;  

C. 当时间为时物体的速度;           D. 从时间到时物体的平均速度

3、已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.

4、求曲线yx2+1在点P(-2,5)处的切线方程.

5、求y=2x2+4x在点x=3处的导数.

6、一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是sst)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小球在t=5时的瞬时速度

7、质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点Mt=2时的瞬时速度.

 

 

 

 


【试题答案】

1、B   

2、B

3、解:(1)时,k

 

∴点A处的切线的斜率为4.

(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1)即y=4x-2

4、解:时,k

 

∴切线方程是y-5=-4(x+2),即y=-4x-3.

5、解:Δy=2(3+Δx2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx2+16Δx=2Δx+16

∴时,y′|x=3=16

6、解:时,瞬时速度v=(10+Δt)=10 m/s.

∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s.

7、解:时,瞬时速度v==(8+2Δt)=8cm/s

导数——平均变化率与瞬时变化率

标签:例题   时间   动物   单位   答案   观察   都对   ble   背景   

原文地址:http://www.cnblogs.com/awishfullyway/p/6594264.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!