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Bzoj3270 博物馆

时间：2017-03-23 22:26:35      阅读：209      评论：0      收藏：0      [点我收藏+]

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Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 456  Solved: 247

Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。
两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）
不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。
两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。
两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。
之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。
之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。
题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）
注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

 

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

 

Source

高斯消元

 

数学问题 数学概率 高斯消元

用数对(a,b)表示A在a，B在b的状态，则很容易推出各个状态之间的转移概率。如果两人到了相同的位置，就不向其他状态转移

————————

 

设S为初始行向量(S[(a,b)]=1)，ans为答案行向量

那么有ans=S+SA+SA^2+SA^3+...

　　　　——popoQQQ

————————

求一个无限长的多项式的值，可以用1除以它的逆元。

对于矩阵，也可以用单位矩阵I除以矩阵的逆元

于是ans=S(I-A^+∞)/(I-A)

　　　　=S/(I-A)

可以得到ans*(I-A)=S

对(I-A)的转置求高斯消元即可得到答案

 

——————————

一些小花招：

建出转移矩阵以后，大力快速幂，概率会向正确值收敛。

在某道有趣的游戏那边，这么做是可行的，因为矩阵及其小（好像只有20*20），自乘40次就可以得到解了

在这里试图如法炮制，然而400*400的矩阵实在吃不消了233

自乘10次WA，自乘20次T

放弃

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  1 /*by SilverN*/
  2 #include<algorithm>
  3 #include<iostream>
  4 #include<cstring>
  5 #include<cstdio>
  6 #include<cmath>
  7 #include<vector>
  8 using namespace std;
  9 const int mxn=30;
 10 int read(){
 11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
 12     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
 13     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
 14     return x*f;
 15 }
 16 struct edge{
 17     int v,nxt;
 18 }e[200010];
 19 int hd[mxn],mct=0;
 20 void add_edge(int u,int v){
 21     e[++mct].v=v;e[mct].nxt=hd[u];hd[u]=mct;return;
 22 }
 23 int n,m,ed;
 24 struct Mat{
 25     double x[401][401];
 26     Mat operator + (const Mat b){
 27         Mat res;
 28         for(int i=1;i<=ed;i++)
 29             for(int j=1;j<=ed;j++)
 30                 res.x[i][j]=x[i][j]+b.x[i][j];
 31         return res;
 32     }
 33     friend Mat operator * (const Mat a,const Mat b){
 34         Mat res;
 35         for(int i=1;i<=ed;i++)
 36             for(int j=1;j<=ed;j++){
 37                 res.x[i][j]=0;
 38                 for(int k=1;k<=ed;k++)
 39                     res.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
 40             }
 41         return res;
 42     }
 43 }mt,bas;
 44 int out[mxn];
 45 double p[mxn],d[mxn][mxn];;
 46 int pa,pb;//初始位置 
 47 int id[mxn][mxn],cnt=0;
 48 void Build(){
 49     int i,j;
 50     for(i=1;i<=n;i++)
 51         for(j=1;j<=n;j++)
 52             id[i][j]=++cnt;
 53     ed=cnt;
 54     for(i=1;i<=n;i++)
 55         for(j=1;j<=n;j++){
 56             if(i==j){
 57                 mt.x[id[i][j]][id[i][j]]=1;
 58                 continue;
 59             }
 60             for(int k=1;k<=n;k++)
 61                 for(int l=1;l<=n;l++){
 62                     mt.x[id[i][j]][id[k][l]]+=d[i][k]*d[j][l];
 63 //                  printf("(%d,%d)to(%d,%d):%.3f\n",i,j,k,l,mt.x[id[i][j]][id[k][l]]);
 64             }
 65         }
 66 /*  for(i=hd[pa];i;i=e[i].nxt){
 67         int v1=e[i].v;
 68         bas.x[id[pa][pb]][id[v1][pb]]=d[pa][v1]*d[pb][pb];
 69         for(j=hd[pb];j;j=e[j].nxt){
 70             int v2=e[j].v;
 71             bas.x[id[pa][pb]][id[v1][v2]]=d[pa][v1]*d[pb][v2];//转移 
 72         }
 73     }
 74     for(j=hd[pb];j;j=e[j].nxt){
 75         int v2=e[j].v;
 76         bas.x[id[pa][pb]][id[pa][v2]]=d[pa][pa]*d[pb][v2];
 77     }*/
 78     return;
 79 }
 80 int main(){
 81     int i,j,u,v;
 82     n=read();m=read();pa=read();pb=read();
 83     for(i=1;i<=m;i++){
 84         u=read();v=read();
 85         add_edge(u,v);add_edge(v,u);
 86         ++out[u];++out[v];
 87     }
 88     for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
 89     for(i=1;i<=n;i++){
 90         d[i][i]=p[i];
 91         for(j=hd[i];j;j=e[j].nxt){
 92             int v=e[j].v;
 93             d[i][v]+=(1-p[i])/out[i];
 94         }
 95     }
 96     Build();
 97     //
 98     for(i=1;i<=5;i++) mt=mt*mt;
 99 //  bas=bas*mt;
100 /*  for(i=1;i<=n;i++)
101         for(j=1;j<=n;j++){
102             for(int k=1;k<=n;k++)
103                 for(int l=1;l<=n;l++)
104                     printf("(%d,%d)to(%d,%d):%.3f\n",i,j,k,l,mt.x[id[i][j]][id[k][l]]);
105         }*/
106     //
107     for(i=1;i<=n;i++)printf("%.6f ",mt.x[id[pa][pb]][id[i][i]]);
108     return 0;
109 }
TLE

 

 

——————————

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 #include<vector>
 8 using namespace std;
 9 const int mxn=30;
10 int read(){
11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
12     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
13     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
14     return x*f;
15 }
16 struct edge{
17     int v,nxt;
18 }e[100010];
19 int hd[mxn],mct=0;
20 void add_edge(int u,int v){
21     e[++mct].v=v;e[mct].nxt=hd[u];hd[u]=mct;return;
22 }
23 int n,m,ed;
24 double f[402][402];
25 double ans[402];
26 void Gauss(){
27     int i,j,k;
28     for(i=1;i<=ed;i++){
29         int p=i;
30         for(j=i+1;j<=ed;j++) if(f[j][i]>f[p][i])p=j;
31         if(p!=i)for(j=i;j<=ed+1;j++){swap(f[p][j],f[i][j]);}
32         for(j=i+1;j<=ed;j++){
33             double x=f[j][i]/f[i][i];
34             for(k=i;k<=ed+1;k++){
35                 f[j][k]-=f[i][k]*x;
36             }
37         }
38     }
39     for(i=ed;i;i--){
40         for(j=i+1;j<=ed;j++){
41             f[i][ed+1]-=f[i][j]*ans[j];
42         }
43         ans[i]=f[i][ed+1]/f[i][i];
44     }
45     return;
46 }
47 int out[mxn];
48 double p[mxn],d[mxn][mxn];
49 int pa,pb;//初始位置 
50 int id[mxn][mxn],cnt=0;
51 void Build(){
52     int i,j;
53     for(i=1;i<=n;i++)
54         for(j=1;j<=n;j++)
55             id[i][j]=++cnt;
56     ed=cnt;
57     for(i=1;i<=n;i++)
58         for(j=1;j<=n;j++)
59             if(i!=j){
60                 for(int k=1;k<=n;k++)
61                     for(int l=1;l<=n;l++){
62                         f[id[i][j]][id[k][l]]-=d[i][k]*d[j][l];
63                 }
64             }
65     for(i=1;i<=ed;i++)
66         for(j=1;j<i;j++)
67             swap(f[i][j],f[j][i]);
68     for(i=1;i<=ed;i++)
69         f[i][i]+=1;
70     f[id[pa][pb]][ed+1]=1;
71     return;
72 }
73 int main(){
74     int i,j,u,v;
75     n=read();m=read();pa=read();pb=read();
76     for(i=1;i<=m;i++){
77         u=read();v=read();
78         add_edge(u,v);add_edge(v,u);
79         ++out[u];++out[v];
80     }
81     for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
82     for(i=1;i<=n;i++){
83         d[i][i]=p[i];
84         for(j=hd[i];j;j=e[j].nxt){
85             int v=e[j].v;
86             d[i][v]+=(1-p[i])/out[i];
87         }
88     }
89     Build();
90     Gauss();
91     for(i=1;i<=n;i++)printf("%.6f ",ans[id[i][i]]);
92     return 0;
93 }

 

Bzoj3270 博物馆

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原文地址：http://www.cnblogs.com/SilverNebula/p/6607545.html
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