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1. ($16‘$) 求下列极限:
(1) $\dps{\vlm{n}(n!)^\frac{1}{n^2}}$.
(2) $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, 恒不为零, 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+f(x)\sin x}-1}{3^x-1}}$.
解答:
(1) 由 $$\bex \frac{\ln n!}{n^2}<\frac{\ln n^n}{n^2}=\frac{\ln n}{n}\to 0\quad\sex{n\to\infty} \eex$$ 知 $$\bex (n!)^\frac{1}{n^2}=\exp\sex{\frac{\ln n!}{n^2}}\to 1\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$
(2) $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+f(x)\sin x}-1}{f(x)\sin x}\cdot \frac{f(x)\sin x}{3^x-1}\\ &=\sex{\sqrt[3]{1+t}}‘_{t=0}\cdot f(0)\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{3^x\ln 3}\\ &=\frac{1}{3}\cdot f(0)\cdot \frac{1}{\ln 3}\\ &=\frac{f(0)}{3\ln 3}. \eea \eeex$$
2. ($15‘$) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, 过点 $A\ (a,f(a))$ 与 $B\ (b,f(b))$ 的直线与曲线 $=f(x)$ 相交于 $C\ (c,f(c))$, 其中 $a<c<b$. 证明: 在 $(a,b)$ 中至少存在一点 $\xi$, 使 $f‘‘(\xi)=0$.
证明: 既然 $A,B,C$ 三点共线, 而由 Lagrange 中值定理, $$\bex \exists\ a<\xi_1<c<\xi_2<b,\st f‘(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a} =\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f‘(\xi_2). \eex$$ 再据 Rolle 定理即知结论成立.
3. ($15‘$) 证明 $\dps{\vsm{n} x^n\ln^2x}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛.
证明: 设 $f_n(x)=x^n\ln^2x$, 则求导可知 $$\bex \max_{x\in [0,1]}f_n(x)=f\sex{e^{-\frac{2}{n}}} =\frac{4}{n^2e^2}. \eex$$ 由 Weierstrass 优级数判别定理即知结论.
4. ($15‘$) 设 $\sed{f_n(x)}$ 是 $[a,b]$ 上的函数序列, 满足对每一 $x\in [a,b]$, 导函数 $f_n‘(x)\ (n=1,2,\cdots)$ 存在, 并且满足下列条件:
(1) 存在某一个 $x_0\in [a,b]$, 使 $\sed{f_n(x_0)}$ 收敛;
(2) 导函数列 $\sed{f_n‘(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛. 证明: $\sed{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛.
证明: 设 $f_n(x_0)$ 收敛于 $A$, $f_n‘(x)$ 一致收敛于 $g(x)$, 则 $$\beex \bea &\quad \max_{x\in [a,b]}\sev{f_n(x)-A-\int_{x_0}^x g(t)\rd t}\\ &=\max_{x\in [a,b]} \sev{ f_n(x_0)+\int_{x_0}^x f_n‘(t)\rd t -A-\int_{x_0}^x g(t)\rd t }\\ &\leq \max_{x\in [a,b]} \sed{ |f_n(x_0)-A| +\sev{\int_{x_0}^x [f_n‘(t)-g(t)]\rd t} }\\ &\leq |f_n(x_0)-A| +\max_{x\in [a,b]}|f_n‘(x)-g(x)|\cdot (b-a)\\ &\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eea \eeex$$
5. ($14‘$) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, 其导函数 $f‘(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 对任意的自然数 $n$, 记 $$\bex \sigma_n=\sum_{i=1}^n f\sex{a+i\frac{b-a}{n}}-\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$ 证明: $$\bex \vlm{n}n\sigma_n=\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]. \eex$$
证明: $$\beex \bea n\sigma_n &=n\sum_{i=1}^n \int_{a+(i-1)\frac{b-a}{n}}^{a+i\frac{b-a}{n}} f\sex{a+i\frac{b-a}{n}}-f(x)\rd x\\ &=n\sum_{i=1}^n \int_{a+(i-1)\frac{b-a}{n}}^{a+i\frac{b-a}{n}} \int_x^{a+i\frac{b-a}{n}}f‘(t)\rd t\rd x\\ &=n\sum_{i=1}^n \int_{a+(i-1)\frac{b-a}{n}}^{a+i\frac{b-a}{n}} f‘(t) \int_{a+(i-1)\frac{b-a}{n}}^t \rd x\rd t\\ &=n\sum_{i=1}^n \int_{a+(i-1)\frac{b-a}{n}}^{a+i\frac{b-a}{n}} \sez{t-a-(i-1)\frac{b-a}{n}}f‘(t)\rd t\\ &=n\sum_{i=1}^n f‘(\xi_i) \int_{a+(i-1)\frac{b-a}{n}}^{a+i\frac{b-a}{n}} \sez{t-a-(i-1)\frac{b-a}{n}}\rd t\\ &=n\sum_{i=1}^n f‘(\xi_i)\frac{(b-a)^2}{2n^2}\\ &=\frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^n f‘(\xi_i)\frac{b-a}{n}\\ &\to\frac{b-a}{2}\int_a^b f‘(x)\rd x =\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]\quad\sex{n\to\infty}. \eea \eeex$$
[家里蹲大学数学杂志]第302期华中师范大学2003年数学分析考研试题参考解答
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3930204.html
