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本文介绍求出1~n内的所有素数的有效算法——埃拉托色尼筛法(the Sieve of Eratosthenes)，估计其算法复杂度，并介绍其改进——线性时间筛法。以下内容谢绝转载。
1.埃拉托色尼筛法(the Sieve of Eratosthenes)
埃氏筛法是一种古老的筛选素数的方法，以古希腊数学家埃拉托色尼的名字命名。因其算法简单，容易编写，受到广泛的使用。
算法思想是从1~n中依次删除2的倍数，3的倍数，.......
算法伪码：
用$A[i]$表示$i$是否为素数，是为true，否为false。初始化$A[2 \cdots n]=true$.
for $i=2$ to $\sqrt n$
if($A[i]$ is true)
for $j=2$ to $n/i$
$A[i]$=false;
end
end
end
输出:
all $p$ s.t. $A[p]$ is true
由于合数$N$一定有不超过$\sqrt N$的质因子，因此外层循环只需循环到$\sqrt n$
2.埃氏筛法的复杂度估计
复杂度估计可以如下简单地考虑：外层循环是 $i$ 时，内层循环共执行 $\frac{n}{i}$ 次。因此总的时间消耗为:
$$\sum_{primes \, p\le \sqrt n} \frac{n}{p} = n \sum_{primes \, p \le \sqrt n} \frac{1}{p}$$
根据Mertens‘ 2nd theorem:
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{primes \ p \le n}\frac{1}{p} -\ln\ln n =M$$
其中$M$是Meissel-Mertens常数，约为$0.26$
由此可见算法的时间消耗为$\Theta (n \log \log n)$
注:一个小优化
可以将内层循环的从$j=i$而不是$j=2$开始。这是因为一个合数一定在$i$是其最小素因子时所标记过，因此只要考虑$j$比$i$大的情况就可以了.
但是这个优化对复杂度的阶并没有改进。这是因为对于不超过$\frac{1}{2}n^{\frac {1}{4}}$的素因子来说，以上优化只减少了至多一半的操作量
然而上述求和即使把求和上限改成$\frac{1}{2}n^{\frac {1}{4}}$,其阶仍然有$\Omega (n \log \log n)$,因此这只是一个常数级别的优化。
3.埃氏筛法的改进——线性时间筛法
从上述分析可以看出，埃氏算法并不是一个线性时间算法。事实上，筛法有一个简单的改进，使得其复杂度降低到线性时间。
References:
Mertens‘ 2nd theorem:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems
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原文地址：http://www.cnblogs.com/dc93/p/3930362.html
