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作者：桂。
时间：2017-04-02 10:36:09
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6658655.html
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【读书笔记09】
前言
西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第八章：最小二乘法。因为最小二乘涉及到矩阵求逆，因为通常对于秩缺矩阵其逆是不可求的，这就需要借助广义逆矩阵。而广义逆矩阵可以借助奇异值分解（SVD，Singularly Valuable Decomposition）进行求解。
有了这个思路，在学习各类最小二乘方法之前，对广义矩阵求逆、SVD分解进行梳理是有必要的，本文主要梳理矩阵求逆。
一、满秩情况
A-方阵
对于$n$x$n$的非奇异矩阵$\bf{A}$，对应的逆矩阵为：${{\bf{A}}^{ - 1}}$.
B-长方形阵
此时对应逆矩阵分为：左逆矩阵以及右逆矩阵。
对于矩阵A（n×m）:
- 如果A是满列秩（n>=m）对于符合LA=I的矩阵解为：${\bf{L}} = {\left( {{{\bf{A}}^H}{\bf{A}}} \right)^{ - 1}}{{\bf{A}}^H}$;
- 如果A是满行秩（n<=m）对于符合AR=I的矩阵解为：${\bf{R}} = {{\bf{A}}^H}{\left( {{{\bf{A}}}{\bf{A}^H}} \right)^{ - 1}}$.
可以看出，当$m=n$时，${\bf{R}}={\bf{L}}={{\bf{A}}^{ - 1}}$.
二、秩亏缺情况
满秩情况中，通过矩阵左/右乘，可以实现满秩方阵，进而求逆得解，对于秩亏缺的情况，上面的求逆思路不再适用，这就需要一种更广义的定义逆矩阵的方式，也就是需要同时左、右乘以矩阵变换，才能得到满秩的特性，广义逆矩阵对满秩情况仍然有效。给出Moore-Penrose逆矩阵定义：
令$\bf{A}$是任意$m$x$n$矩阵，如果${{\bf{A}}^+ }$满足以下四个条件，称矩阵${{\bf{A}}^+ }$是$\bf{A}$的广义逆矩阵：
1）${\bf{A}}{{\bf{A}}^+ }{\bf{A}} = {\bf{A}}$;
2）${{\bf{A}}^+ }{\bf{A}}{{\bf{A}}^+ } = {{\bf{A}}^+ }$;
3）${\bf{A}}{{\bf{A}}^+ } = {\left( {{\bf{A}}{{\bf{A}}^+ }} \right)^H}$;
4）${{\bf{A}}^+ }{\bf{A}} = {\left( {{{\bf{A}}^+ }{\bf{A}}} \right)^H}$;
具体的原理推导可以参考：张贤达《矩阵分析与应用》p61~64.
容易看出：$\bf{A}$的满秩情况，广义逆矩阵仍然使用。Moore-Penrose逆矩阵是广义逆矩阵的一种形式。
三、求解Moore-Penrose逆矩阵
求解有多种思路，这里只分析基于SVD分解的方法。首先给出求解步骤：
背景知识：
对于
存在正交矩阵$\bf{U}$、$\bf{V}$，使得：
${\bf{A}}{\rm{ = }}{\bf{U\Sigma }}{{\bf{V}}^H}$
式中：
且$r = rank({\bf{A}})$.
求解步骤：
利用SVD进行广义逆矩阵求解：
${{\bf{A}}^ + } = {\bf{V}}{{\bf{\Sigma }}^ + }{{\bf{U}}^H}$
其中：
事实上，对于秩为$r$，$\bf{A}$分解可简写为：
${\bf{A}} = {{\bf{U}}_r}{{\bf{\Sigma }}_1}{{\bf{V}}_r}^H$
从而SVD可以简化为：
${{\bf{A}}^ + } = {{\bf{V}}_r}{\bf{\Lambda }}_{_{\rm{1}}}^{ - 1}{\bf{V}}_{_r}^H{{\bf{A}}^H}$
其中${{\bf{\Lambda }}_1} = diag\left( {\sigma _{_1}^2,\sigma _{_2}^2,...,\sigma _{_r}^2} \right)$.
因为暂时不讨论SVD，此处先直接调用，给出对应代码：
a = [ 1 7 5 1 6 4 2 7 8 10 5 4]; [U,S,V] = svd(a); K = min(size(a)); S_plus = [diag(1./diag(S))].^2; a_mp = 0; for i = 1:K a_mp = a_mp+V(:,i)*S_plus(i,i)*V(:,i)‘*a‘; end求解的a_mp为广义逆矩阵，其结果与`pinv`指令的作用等价。
理论证明：
表达式简写：
首先分析Moore-Penrose条件1：
Moore-Penrose条件2与条件1证明类似；
再分析Moore-Penrose条件3：
即${\bf{A}}{{\bf{A}}^+ } = {\left( {{\bf{A}}{{\bf{A}}^+ }} \right)^H}$;条件4同理。
既然广义矩阵求逆可以借助SVD分解，需要看看SVD如何分解，后面打算对SVD进行梳理。
参考：
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