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动态规划 硬币问题

时间:2017-04-06 19:47:47      阅读:194      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:之间   count   无限   public   如何   value   方案   小学   string   

 

       题目:有n种硬币,面值分别为V1,V2,...Vn,每种都有无限多。给定非负整数S,可以选用多少个硬币,使得面值之和恰好为S?输出硬币数目的

最小值和最大值!

 

       如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚,如何用最少的硬币凑够11元? (表面上这道题可以用贪心算法,但贪心算法无法保证可以求出

解,比如1元换成2元的时候)

      首先我们思考一个问题,如何用最少的硬币凑够i元(i<11)?为什么要这么问呢? 两个原因:1.当我们遇到一个大问题时,总是习惯把问题的规模变

小,这样便于分析讨论。 2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的,除了规模变小,其它的都是一样的, 本质上它还是同一个问题(规模变小后的

问题其实是原问题的子问题)。

        好了,让我们从最小的i开始吧。当i=0,即我们需要多少个硬币来凑够0元。 由于1,3,5都大于0,即没有比0小的币值,因此凑够0元我们最少需

要0个硬币。 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。

      那么, 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0, 表示凑够0元最小需要0个硬币。当i=1时,只有面值为1元的硬

币可用, 因此我们拿起一个面值为1的硬币,接下来只需要凑够0元即可,而这个是已经知道答案的, 即d(0)=0。所以,d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。

当i=2时, 仍然只有面值为1的硬币可用,于是我拿起一个面值为1的硬币, 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量),而这个答案也

已经知道了。 所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。

      一直到这里,你都可能会觉得,好无聊, 感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币!耐心点, 让我们看看i=3时的情况。

当i=3时,我们能用的硬币就有两种了:1元的和3元的( 5元的仍然没用,因为你需要凑的数目是3元!5元太多了亲)。 既然能用的硬币有两种,我就有两

种方案。如果我拿了一个1元的硬币,我的目标就变为了: 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的

是,我拿3个1元的硬币;第二种方案是我拿起一个3元的硬币, 我的目标就变成:凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1.

这个方案说的是,我拿1个3元的硬币。好了,这两种方案哪种更优呢? 记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以, 选择d(3)=1,怎么来的呢?

具体是这样得到的:d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

       上文中d(i)表示凑够i元需要的最少硬币数量,我们将它定义为该问题的”状态”, 这个状态是怎么找出来的呢?我在另一篇文章中写过: 根据子问题定义状

态。你找到子问题,状态也就浮出水面了。 最终我们要求解的问题,可以用这个状态来表示:d(11),即凑够11元最少需要多少个硬币。 那状态转移方程是什

么呢?既然我们用d(i)表示状态,那么状态转移方程自然包含d(i), 上文中包含状态d(i)的方程是:d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。没错, 它就是状态

转移方程,描述状态之间是如何转移的。当然,我们要对它抽象一下,

d(i)=min{ d(i-vj)+1 },其中i-vj >=0,vj表示第j个硬币的面值;

有了状态和状态转移方程,这个问题基本上也就解决了。当然了,Talk is cheap,show me the code!

伪代码如下:

技术分享

/**
 * 硬币找零
 * 
 * @author sun
 *
 */
public class MinCoins {
    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = { 1, 3, 5 };
        int value = 11;
        CoinDp(value, coins);
    }

    public static void CoinDp(int n, int[] coinValue) {
        int count = 0;// 记录执行次数
        int[] min = new int[n + 1]; // 用来存储得到n块钱需要的硬币数的最小值
        min[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            min[i] = Integer.MAX_VALUE;// 初始化数组中的每个值都是最大的整数
            for (int j = 0; j < coinValue.length; j++) {
                count++;
                if (i >= coinValue[j] && min[i] > min[i - coinValue[j]] + 1) {
                    min[i] = min[i - coinValue[j]] + 1;
                }
            }
            System.out.println("获取" + i + "块钱,最少需要的硬币数:" + min[i] + ",执行的次数:" + count);
        }
        System.out.println(min[n]);
    }
}

 

动态规划 硬币问题

标签:之间   count   无限   public   如何   value   方案   小学   string   

原文地址:http://www.cnblogs.com/sunTin/p/6674945.html

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