标签：优化 这不 测试 迭代 mixin com 接受 特征选择 hle
本文简单整理了以下内容：
（一）维数灾难
（二）特征提取——线性方法
1. 主成分分析PCA
2. 独立成分分析ICA
3. 线性判别分析LDA
维数灾难就是说当样本的维数增加时，若要保持与低维情形下相同的样本密度，所需要的样本数指数型增长。从下面的图可以直观体会一下。当维度很大样本数量少时，无法通过它们学习到有价值的知识；所以需要降维，一方面在损失的信息量可以接受的情况下获得数据的低维表示，增加样本的密度；另一方面也可以达到去噪的目的。
图片来源：[1]
有两种办法试图克服这个问题：首先是特征提取（Feature extraction），通过组合现有特征来达到降维的目的；然后是特征选择，从现有的特征里选择较小的一些来达到降维的目的。下面开始介绍特征提取。
首先约定一下记号：
样本矩阵 $X=(\textbf x_1,\textbf x_2,...,\textbf x_N)=({\textbf x^{(1)}}^{\top};{\textbf x^{(2)}}^{\top};...;{\textbf x^{(d)}}^{\top})\in\mathbb R^{d\times N}$ ，$X_{ij}=x_i^{(j)}$；
$N$ 是训练集的样本数，每个样本都表示成 $\textbf x_i\in\mathbb R^d$ 的列向量；如果出现了 $\textbf x$ 这样没有上下标的记号就泛指任一样本，相当于省略下标；
$d$ 是特征的维数，每维特征都表示成 $\textbf x^{(j)}\in\mathbb R^N$ 的列向量；如果出现了 $x^{(j)}$ 这样的记号就泛指任一样本的第 $j$ 维特征，相当于省略下标；
降维之后的样本矩阵 $Z\in\mathbb R^{k\times N}$ ，$k$ 是降维之后的特征维数，每个样本被降维后都表示成 $\textbf z_i\in\mathbb R^k$ 的列向量。
PCA可谓是非常常用的一种线性降维方式，比如在人脸识别中的“特征脸”（Eigenfaces）。降维之后的每个“新”特征都被称为主成分。这是一种无监督的降维方法，没有用到样本的标记信息。
下图是一个二维的例子，图示的两个方向为两个主成分的基底，我们可以通过PCA将它降成一维，也就是只保留一个基底。
图片来源：[6]
PCA是一种线性方法，它将原始数据 $X$ 通过变换矩阵 $W\in\mathbb R^{d\times k}$ 投影到低维空间，
$$Z=W^{\top}X=(\textbf z_1,\textbf z_2,...,\textbf z_N)=({\textbf z^{(1)}}^{\top};{\textbf z^{(2)}}^{\top};...;{\textbf z^{(d)}}^{\top})\in\mathbb R^{d\times N}$$
对于每个样本来说都有 $\textbf z_i=W^{\top}\textbf x_i$ 。将变换矩阵表述成 $W=(\textbf w_1,\textbf w_2,...,\textbf w_k)$ ，这是低维空间的一组标准正交基，每一列 $\textbf w_i\in\mathbb R^d$ 与其他列之间是互相正交的，而列本身的模为1。
$\textbf z_i=W^{\top}\textbf x_i$ 的分量表示为
$$z_i^{(j)}={\textbf w_j}^{\top}\textbf x_i,\quad j=1,2,...,d$$
可以直观看出，每个新的特征都是原先全部特征的线性组合。
现在的问题是，怎样确定出变换矩阵 $W$ 。PCA的基本做法是，在原始数据（一般要去均值）的协方差矩阵做特征值分解（实对称矩阵一定能找到一个正交矩阵使其对角化，这个正交矩阵正是由其特征值对应的特征向量所组成），将特征值从大到小排序，其中最大的特征值 $\lambda_1$ 所对应的特征向量 $\textbf w_1$ 作用在样本 $\textbf x_i$ 所得到的“新”特征 $\textbf z^{(1)}$ 称为第一主成分，随后是第二主成分 $\textbf z^{(2)}$，第三主成分……，只保留 $k$ 个主成分，构成样本 $\textbf x_i$ 降维后的表示 $\textbf z_i=(z_i^{(1)},z_i^{(2)},...,z_i^{(k)})^{\top}$ 。$k$ 的值可通过下式来确定：
$$\frac{\sum_{1=1}^k\lambda_i}{\sum_{1=1}^d\lambda_i}\geq 95\%$$
1. 下面将首先从最大投影方差的角度阐述PCA的思想。
假设训练集样本的每一维特征都进行了去均值处理，也就是中心化，使得 $\sum_{i=1}^N\textbf x_i=\textbf 0$（需要注意，测试集的样本在做去均值操作时去掉的是训练集的均值，所以这个操作中得到的训练集的均值向量要保留）。
考虑到降维到 $k$ 维的情况：希望投影后的每一维都尽可能地分开。
不妨先实现一个小目标：我们需要降维到一维，样本点在投影到一维之后，能够尽可能地“分开”——也就是投影后的方差最大。这时变换矩阵 $W$ 退化为一个向量 $\textbf w_1$ ，样本 $\textbf x_i$ 投影的结果为 $\textbf z_i =\textbf w_1^{\top}\textbf x_i\in\mathbb R$。投影后的方差为：
$$\begin{aligned}&\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(\textbf z_i - \boldsymbol\mu(\textbf z_i))(\textbf z_i - \boldsymbol\mu(\textbf z_i))^{\top}\\=&\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N\textbf z_i\textbf z_i^{\top}\\=&\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(\textbf w_1^{\top}\textbf x_i)(\textbf w_1^{\top}\textbf x_i)^{\top}\\=&\textbf w_1^{\top}(\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N\textbf x_i\textbf x_i^{\top})\textbf w_1\\=&\textbf w_1^{\top}\varSigma_X\textbf w_1\end{aligned}$$
这里，$\varSigma_X=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N\textbf x_i\textbf x_i^{\top}=\frac{1}{N-1}XX^{\top}$ 。因为原始数据作了去均值处理，所以其实就是去均值之后的样本的协方差矩阵。
这里顺便写一下投影后的样本的协方差矩阵（这个形式和高斯分布经线性变换后的协方差矩阵形式一样，即原始数据的二次型）：
$$\varSigma_Z=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N\textbf z_i\textbf z_i^{\top}=\frac{1}{N-1}ZZ^{\top}=W^{\top}\varSigma_X W$$
它的对角线元素就代表了各维的方差，PCA的优化目标是 $\max_W\quad\text{tr}(W^{\top}\varSigma_X W)$ ，约束是 $W^{\top}W=I$ ，然后用拉格朗日乘数法求解，但我觉得这样不直观，还是从降维到一维入手。
为了实现上面降维到一维后方差最大的这个小目标，我们需要求解如下的约束最优化问题：
$$\max_{\textbf w_1}\quad\textbf w_1^{\top}\varSigma_X\textbf w_1$$
$$\text{s.t.}\quad\quad\|\textbf w_1\|=1$$
使用拉格朗日乘数法，那么问题的解就是拉格朗日函数 $L$ 的偏导数等于零这个方程的解：
$$L=\textbf w_1^{\top}\varSigma_X\textbf w_1-\lambda(\textbf w_1^{\top}\textbf w_1-1)$$
$$\frac{\partial L}{\partial \textbf w_1}=2\varSigma_X\textbf w_1-2\lambda\textbf w_1=0$$
$$\varSigma_X\textbf w_1=\lambda\textbf w_1$$
所以问题的解需要是 $\varSigma_X$ 的特征向量。优化目标 $\textbf w_1^{\top}\varSigma_X\textbf w_1=\textbf w_1^{\top}\lambda\textbf w_1=\lambda$ ，若要使它最大化，便要使 $\lambda$ 最大化。所以问题的解是 $\varSigma_X$ 的最大特征值所对应的特征向量。
现在已经证明了，第一主成分怎样得来。那么考虑到 $k$ 个主成分的情况：如何证明，最大的 $k$ 个特征值对应的特征向量所组成的矩阵 $W$ ，满足投影后的各维方差都尽可能大？
当然是数学归纳法：现在 $k=1$ 时成立（归纳基础），我们假设 $k=m$ 时成立，只要论证出 $k=m+1$ 时仍成立，那结论就是成立的。
现在已知 $\textbf w_1,\textbf w_2,...,\textbf w_m$ 是一组在新空间的维度为 $m$ 下满足投影方差最小的基底。$\textbf w_{m+1}$ 要满足的条件有：
(1) 模为1，$\|\textbf w_{m+1}\|=1$；(2) 与 $\textbf w_1,\textbf w_2,...,\textbf w_m$ 都正交，$\textbf w_{m+1}^{\top}\textbf w_j=0$ ；(3) $\textbf w_{m+1}^{\top}X$ 的方差最大
写成约束最优化的形式，就是
$$\max_W\quad \textbf w_{m+1}^{\top}\varSigma_X\textbf w_{m+1}$$
$$ \begin{aligned} \text{s.t.}\quad & \|\textbf w_{m+1}\|=1 \\& \textbf w_{m+1}^{\top}\textbf w_j=0,\quad j=1,2,...,m \end{aligned} $$
使用拉格朗日乘数，可得
$$L=\textbf w_{m+1}^{\top}\varSigma_X\textbf w_{m+1}-\lambda (\textbf w_{m+1}^{\top}\textbf w_{m+1}-1)-\sum_{j=1}^m\eta_j\textbf w_{m+1}^{\top}\textbf w_j$$
$$\frac{\partial L}{\partial \textbf w_1}=2\varSigma_X\textbf w_{m+1}-2\lambda\textbf w_{m+1}-\sum_{j=1}^m\eta_j\textbf w_j=0$$
将等式两边依次右乘 $\textbf w_j, j=1,2,...,m$ ，就可以依次得到 $\eta_j=0, j=1,2,...,m$，所以有
$$\varSigma_X\textbf w_{m+1}=\lambda\textbf w_{m+1}$$
这样就论证了 $\textbf w_{m+1}$ 就是协方差矩阵的第 $m+1$ 大的特征值所对应的特征向量。
我们重新审视一下 $\varSigma_Z=W^{\top}\varSigma_XW$ 这个式子——如果不降维的话（也就是说 $W$ 是个方阵），单从空间变换的角度来看，这不正是把协方差矩阵 $\varSigma_X$ 对角化吗？
2. 接下来从最小均方重建误差（mean square reconstruction error，MSRE）的角度来理解PCA
我们知道，如果要从 $Z$ 再重建到原先数据所在的空间中，需要做的变换是 $WZ$ 。最小均方重建误差的优化目标为 $\min_W\quad\|X-WW^{\top}X\|^2$ ，约束为 $W^{\top}W=I$ 。可以推导出，优化目标等价于 $\max_W\quad\text{tr}(W^{\top}\varSigma_X W)$ 。也就是说和最大投影方差的优化目标一致。
3. 其他说明
对于测试集，中心化操作中所减去的均值是训练集的；降维操作中的矩阵使用的是训练集的 $W$ 。所有的预处理、调超参数等操作都不能混入任何测试集的信息，不妨想象：测试集就一个样本。
PCA还有另外若干种理解角度，如高斯随机采样。从这种角度理解可以参考[2]，此外还介绍了PCA在指数族分布上的推广。
变换矩阵 $W$ 可以通过一个单隐层的AutoEncoder来求解，隐层神经元个数就是 $k$ 。
降维效果好坏的比较，应该还是从具体任务上的分类效果孰优孰劣来比较的，就好比中文分词也需要在具体任务上来看。从低维的图里可以看出来，PCA还是比较适合于样本服从高斯分布，有些时候PCA未必有很好的降维效果。
此外，对于数据量很大的情况，需要在线计算协方差矩阵，使得主成分随着新数据的到来而实时更新。方法是Oja’s Rule。
ICA相比于PCA，其追求的效果是不一样的：ICA寻找的是最能使数据的相互独立的方向，而PCA仅要求方向是不相关的。我们知道，独立可以推出不相关，反之则不可以，而高斯分布的情况下独立等价于不相关。因此ICA需要数据的高阶统计量，PCA则只需要二阶统计量。
图片来源：[6]
简单介绍一下ICA。考虑盲源信号分离的问题：设有 $d$ 个独立的标量信号源发出声音，其在时刻 $t$ 发出的声音可表示为 $\textbf s_t=(s_t^{(1)},s_t^{(2)},...,s_t^{(d)})^{\top}\in\mathbb R^d$ 。同样地，有 $d$ 个观测器在进行采样，其在时刻 $t$ 记录的信号可表示为：$\textbf x_t\in\mathbb R^d$ 。认为二者满足下式，其中矩阵 $A\in\mathbb R^{d\times d}$ 被称为mixing matrix，反映信道衰减参数：
$$\textbf x_t=A\textbf s_t$$
显然，有多少个采样时刻，就可以理解为有多少个样本；而信号源的个数可以理解为特征的维数。ICA的目标就是从 $\textbf x$ 中提取出 $d$ 个独立成分，也就是找到矩阵unmixing matrix $W$ ：
$$\textbf s_t=W\textbf x_t,\quad W=A^{-1}$$
图片来源：[1]
将矩阵 $W$ 记为 $W=({\textbf w_1}^{\top};{\textbf w_2}^{\top};...;{\textbf w_d}^{\top})$ ，也就是它的第 $j$ 行是 ${\textbf w_j}^{\top}$ ，那么 $s_i^{(j)}={\textbf w_j}^{\top}\textbf x_i$ 。（这里的 $W$ 相比于PCA推导中的 $W$ 差一个转置）
在没有其他先验知识的情况下，由于上面式子中的只有观测信号是已知的，故无法求解：
首先是源信号的幅值不确定，导致矩阵 $W$ 随幅值的变化而变化；其次是源信号的顺序不确定，即使是完全相同的两组源信号而仅仅是顺序不同，因为当顺序更改了之后导致矩阵 $W$ 的行排列随之变化，所以无法确定出唯一的矩阵 $W$ 。
再有，源信号不能是高斯分布的。考虑2维情况，$\textbf s\sim N(\textbf 0,I)$ 。由于观测信号 $\textbf x_t=A\textbf s_t$ ，根据高斯分布的线性不变性，$\textbf x\sim N(\textbf 0,AIA^{\top})=N(\textbf 0,AA^{\top})$ 。现考虑另外一个mixing matrix $A‘=AR$ ，其中 $R$ 是正交矩阵。则这时的观测信号 $\textbf x_t‘=A‘\textbf s_t$ ，且$\textbf x‘\sim N(\textbf 0,A‘IA‘^{\top})=N(\textbf 0,ARR^{\top}A^{\top})=N(\textbf 0,AA^{\top})$ ，不同的mixing matrix却得到了相同的观测信号。可见当源信号服从高斯分布时 $W$ 不能唯一确定。从图示可以看出，高斯分布的线性不变性导致ICA失效。
图片来源：[1]，图中的下标对应于本文的上标
现在考虑ICA的求解。之前说过，$d$ 个源信号是相互独立的（且没有噪声），所以源信号的密度函数可以表示为
$$p_{\textbf s}(\textbf s)=\prod_{j=1}^dp_s(s^{(j)})$$
观测信号 $\textbf s_t$ 和观测信号 $\textbf x_t$ 的关系是$\textbf x_t=A\textbf s_t$，它们的概率密度函数有如下关系：
$$p_{\textbf x}(\textbf x)=\frac{p_{\textbf s}(\textbf s)}{|A|}=p_{\textbf s}(\textbf s)|W|$$
可以得到下式
$$p_{\textbf x}(\textbf x)=|W|\prod_{j=1}^dp_s({\textbf w_j}^{\top}\textbf x)$$
现在需要做的是指定 $p_s(\cdot)$ 。在没有任何先验知识的情况下，可以指定
$$\begin{aligned}p_s(\cdot)&=\sigma ‘(\cdot)\\&=(\dfrac{1}{1+\exp(-\cdot)})‘\\&=\dfrac{\exp(-\cdot)}{(1+\exp(-\cdot))^2}\\&=\sigma(\cdot)(1-\sigma(\cdot))\end{aligned}$$
这相当于分布函数是logistic函数，密度函数自然就是它的导函数。这是一个合理的指定，因为在很多问题上都work well；如果有先验知识当然可以指定为其他的形式。
给定 $N$ 个时刻的观测值，使用极大似然估计，得到似然函数为 $L(W)=\prod_{i=1}^Np_{\textbf x}(\textbf x_i)$，进一步得到对数似然函数为
$$l(W)=\sum_{i=1}^N(\sum_{j=1}^d\log \sigma‘({\textbf w_j}^{\top}\textbf x_i)+\log |W|)$$
为了求极大值，需要用梯度上升法。根据公式 $\dfrac{\partial |W|}{\partial W}=|W|(W^{-1})^{\top}$ 以及 $\log\sigma‘(\cdot)=1-2\sigma(\cdot)$，可求得对于一个样本的梯度为
$$\frac{\partial l_{1}}{\partial W}=(\textbf 1-2\sigma({\textbf w_j}^{\top}\textbf x_i))\textbf x_i^{\top}+(W^{-1})^{\top}$$
这里如果logistic函数的自变量为矩阵，就对逐个元素做运算，函数值是阶数相同的矩阵。这样就得到了优化目标对于一个样本的梯度，进而可以用梯度上升法迭代更新最大值。
附上sklearn中对PCA和ICA的介绍：2.5. Decomposing signals in components (matrix factorization problems)
三、线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）
LDA也称为Fisher判别分析，是从更利于分类的角度来降维，利用到了训练样本的类别标记，追求的是最能够分开各个类别数据的投影方法。从右图可以看出，相比于直接用PCA降维，如果将样本投影到下图所示的直线上则会更利于分类。
LDA在NLP里还指 latent Dirichlet allocation（隐狄利克雷分布），是一种主题模型的简称。不要搞混了。
严格说的话，LDA要求各个类别的协方差矩阵相等，这样可以从贝叶斯决策论的角度推导出LDA分类器的判别函数 $g_i(\textbf x)$ 为线性函数（Fisher判别分析则没有协方差矩阵相同的要求）。
图片来源：[3]
若想使得投影后的结果有利于分类，需要从两方面的需求考虑：一方面，投影之后相同类别的样本之间要尽可能近；另一方面，投影之后各个类别之间要尽可能远。
首先考虑二类问题，将 $d$ 维样本投影到一条方向由 $\textbf w$ 确定的的直线上。现在的问题就是找出 $\textbf w$ 。
一个容易想到的思路是投影后的均值尽可能远。对于第 $i$ 类样本，投影前的均值为 $\boldsymbol\mu_i=\frac{1}{n_i}\sum_{\textbf x\in\omega_i}\textbf x$ ，投影后的均值为 $\widetilde{\boldsymbol\mu}_i=\textbf w^{\top}\boldsymbol\mu_i$ ，然后使 $|\widetilde\mu_1-\widetilde\mu_2|^2$ 最大化（因为降维后是一维，所以均值向量就是个标量，用了小写字母）。但这样其实是不行的，从下图一看便知：
图片来源：[7]
上述做法的症结在于，同类样本之间显然太远了，它只考虑了第二个需求而没有考虑第一个需求。所以，需要用总类内散度来归一化上述目标。首先定义如下几个概念：
类内散度矩阵（从定义中可看出与协方差矩阵相差一个常数倍）：
$$S_i=\sum_{\textbf x\in\omega_i}(\textbf x-\boldsymbol\mu_i)(\textbf x-\boldsymbol\mu_i)^{\top}$$
总类内散度矩阵就是所有类别的类内散度矩阵之和：
$$S_W=\sum_{i=1}^cS_i$$
类间散度矩阵（式中 $\boldsymbol\mu=\frac1n\sum_{\textbf x}\textbf x$ 为全部数据的均值向量）：
$$S_B=\sum_{i=1}^cn_i(\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu)(\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu)^{\top}$$
总体散度矩阵
$$S_T=S_W+S_B=\frac1n\sum_{\textbf x}(\textbf x-\boldsymbol\mu)(\textbf x-\boldsymbol\mu)^{\top}$$
经过变换矩阵 $W$ 后，类内散度矩阵（从形式上可以看出，与高斯分布经过线性变换后的新协方差矩阵的形式是一样的）和类间散度矩阵变为
$$\widetilde S_W=W^{\top}S_WW$$
$$\widetilde S_B=W^{\top}S_BW$$
所以优化目标可以写为（因为是一维，所以类内散度矩阵就是个标量，用了小写字母）
$$J=\frac{|\widetilde\mu_1-\widetilde\mu_2|^2}{\widetilde s_1+\widetilde s_2}=\frac{\textbf w^{\top}S_B\textbf w}{\textbf w^{\top}S_W\textbf w}$$
特别注意，该式中的 $S_B$ 实际上不是按照上面的定义式来定义的，两类情况下的类间散度矩阵 $S_B=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)^{\top}$
该式是两个散度矩阵 $S_B$ 、$S_W$ 的广义瑞利商。
直接令该式的偏导数等于零，可以得到 $S_W^{-1}S_B\textbf w=J\textbf w$ ，所以可以看作是特征值分解问题。另外，由于 $\textbf w$ 的幅值不影响问题的解，所以也可以看作下述约束最优化问题：
$$\min_{\textbf w}\quad -\textbf w^{\top}S_B\textbf w$$
$$\text{s.t.}\quad \textbf w^{\top}S_W\textbf w=1$$
使用拉格朗日乘数法可求得该问题的解就是下式的解：
$$S_W^{-1}S_B\textbf w=\lambda\textbf w$$
在这个问题中，其实没必要做特征值分解：
根据 $S_B=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)^{\top}$ ，得到 $S_B\textbf w=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)^{\top}\textbf w$ ，因为后两个因子的乘积是标量（记作 $a$ ），所以 $S_B\textbf w$ 总是位于 $\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2$ 的方向上，进而有 $\lambda\textbf w=aS_W^{-1}(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)$ 。所以可以立刻写出问题的解为
$$\textbf w=S_W^{-1}(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_2)$$
这个解有时被称为典范变量（Canonical variable）。
对于多分类问题，设类别个数是 $c$ ，从分类的角度讲是从 $d$ 维空间向 $c-1$ 维空间投影，从降维的角度来说的话是从 $d$ 维空间向 $k$ 维空间投影（ $k\leq c-1$ ）。记矩阵 $W=(\textbf w_1,...,\textbf w_{c-1})\in\mathbb R^{d\times(c-1)}$ 。优化目标通常是
$$J=\frac{|\widetilde S_B|}{|\widetilde S_W|}=\frac{\text{tr}(W^{\top}S_BW)}{\text{tr}(W^{\top}S_WW)}$$
其解的方程如下，最优矩阵 $W$ 的列向量是下列等式中最大特征值对应的特征向量：
$$S_W^{-1}S_B\textbf w_i=\lambda_i\textbf w_i$$
因为 $S_B$ 是 $c$ 个秩为1或0的矩阵的和，其中只有 $c-1$ 个是独立的，所以 $S_B$ 的秩不会超过 $c-1$ ，也就是说非零特征值至多只有 $c-1$ 个。
参考资料：
[1] 《模式分类》及slides
[2] 66天写的逻辑回归
[3] Dimension Reduction: A Guided Tour
[4]［非线性方法推荐看这篇］【机器学习算法系列之三】简述多种降维算法
[5] CS229 Lecture notes11：ICA
[6] Assessment of multidimensional functional neuroimaging data model by statistical resampling
[7] A Tutorial on Data Reduction Linear Discriminant Analysis (LDA)
机器学习 —— 基础整理（四）：特征提取之线性方法——主成分分析PCA、独立成分分析ICA、线性判别分析LDA
标签：优化 这不 测试 迭代 mixin com 接受 特征选择 hle
原文地址：http://www.cnblogs.com/Determined22/p/6357291.html
