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证明：$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\qquad a>0$$
证：
方法一：构造级数$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!},$$再用比阶法证明级数收敛就可以了，此处不写详细过程.
方法二：设有数列{${{a_n}}$},且$a_n=\frac{a^n}{n!}$
所以$$a_{n+1}=\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a}{n+1}a_n$$
显然,当$n$足够大时$\frac{a}{n+1}\rightarrow 0$
所以此时数列单调递减，而$a_n$明显$>0$，所以数列{${{a_n}}$}极限存在，假设为$a$
则 $$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a}{n+1}a_n$$
所以$$a=0\times a \Rightarrow a=0$$
证毕.
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hepengzhang/p/3932876.html
