【不等式】何承天

时间：2014-05-09 09:54:33 阅读：288 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

何承天不等式：

a b \leq m a + n d m b + n c \leq d c

$\frac{a}{b} \leq \frac{ma+nd}{mb+nc}\leq \frac{d}{c}$

其中$a,b,c,d,m,n \in \mathbb{R}$.

Proof:这是一个有重要应用的不等式(变分迭代算法中)

先证明一个简单情况$m=n=1$时，设 $H(m,n)=\frac{ma+nd}{mb+nc}$

则

H (1, 1) = b + d a + c = b a 1 + d / b 1 + c / a \geq b a

$H(1,1)=\frac{b+d}{a+c}=\frac{b}{a}\frac{1+d/b}{1+c/a}\geq \frac{b}{a}$

同理可得$H(1,1)\geq \frac{d}{c}$.

由原式

m b n a \leq n d n c

$\frac{mb}{na}\leq \frac{nd}{nc}$

故

a b \leq m a + n d m b + n c \leq d c

$\frac{a}{b} \leq \frac{ma+nd}{mb+nc}\leq \frac{d}{c}$

原文地址：http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/3716851.html

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