欧几里得算法的扩展形式

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这个算法是用来求满足下列条件的整数x和y：

　　　　　　　　　　　　　　　　d = gcd(a,b) = ax+by (d为a，b的最大公约数)

算法导论上给出的伪代码：

　　　　　　　　EXTENDED_EUCLID（a，b）

　　　　　　　1 if b==0

　　　　　　　2 　　return (a,1,0)

　　　　　　　3 else (d1,x1,y1) = EXTENDED_EUCLID(b,a mod b)

　　　　　　　4 　　(d,x,y) = (d2,y1,y1-(a/b)*y1)

　　　　　　　5 　　return （d，x，y）

注意第四行是关键。

如果看不懂没关系，下面给出推导过程：

　　gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。

　　因为　i%j = i-(i/j)*j,所以可以将右边变形为如下形式

　　　　b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

　　也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。    需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法

例题:

　　题目链接:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=775

思路:直接套即可，贴出代码，方便理解

 
#include <iostream>
#include <cstdio> 
using namespace std;
int x,y,d;//d代表最大公约数

void extend_gcd(int a,int b)
{
    int t;//用来记录当前的x值，因为在计算y的时候会用到
    if(b==0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        d = a;
    }
    else
    {
        extend_gcd(b,a%b);
        t = x;
        x = y;
        y = t-(a/b)*y;
    } 
} 

int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d %d",&a,&b)!=EOF)
    {
            extend_gcd(a,b);
        printf("%d %d\n",x,y);
    } 
    
    return 0;
}

        

参考资料：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/09/02/2164404.html

欧几里得算法的扩展形式

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ltwy/p/3933704.html