2014考研数学一 第二题

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设函数$f(x)$具有2阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)$,则在$[0,1]$上

$(A)$当$f‘(x)\ge 0$时，$f(x)\ge g(x);$

$(B)$当$f‘(x)\ge 0$时，$f(x)\le g(x);$

$(C)$当$f‘‘(x)\ge 0$时，$f(x)\ge g(x);$

$(D)$当$f‘‘(x)\ge 0$时，$f(x)\le g(x).$

解：看到比较大小，容易想到构造辅助函数：$$F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-[f(0)(1-x)+f(1)x]$$

注意到$$F(0)=F(1)=0$$

所以想到图像的凸性是此题突破口，且$F‘‘(x)=f‘‘(x)$

因而$f‘‘(x)\ge 0$时，$f(x)\le g(x)$,故答案选$D$.

2014考研数学一 第二题

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