Labyrinth

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度度熊是一仅仅喜欢探险的熊，一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫，该迷宫仅仅能从矩阵左上角第一个方格開始走。仅仅有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫，每一次仅仅能走一格，且仅仅能向上向下向右走曾经没有走过的格子。每个格子中都有一些金币（或正或负。有可能遇到强盗拦路抢劫，度度熊身上金币能够为负。须要给强盗写欠条）。度度熊刚開始时身上金币数为0，问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币？

输入的第一行是一个整数T（T < 200）。表示共同拥有T组数据。

每组数据的第一行输入两个正整数m，n（m<=100，n<=100）。
接下来的m行，每行n个整数。分别代表对应格子中能得到金币的数量，每一个整数都大于等于-100且小于等于100。

对于每组数据，首先须要输出单独一行”Case #?:”，当中问号处应填入当前的数据组数。组数从1開始计算。
每组測试数据输出一行，输出一个整数，代表依据最优的打法，你走到右上角时能够获得的最大金币数目。

2
3 4
1 -1 1 0
2 -2 4 2
3 5 1 -90
2 2
1 1
1 1

Case #1:
18
Case #2:
4

解题思路：

n*m的迷宫，每一个坐标位置上都有一个金钱值，有正有负。一開始从左上角（1，1）開始，手里的金钱为0（不包含左上角的那个坐标金钱），在迷宫中仅仅能向上下和向右走，问走到出口右上角（1,m)时，手里最大可能的金钱值是多少。

一開始是用DFS做的。測试数据也对，可是超时。应该用Dp来解决。首先进行预处理。用dp[i][j]，表示走到当前坐标时所收获的最大金钱。map[i][j]存地图每一个坐标的金钱值，那么dp[][1] 第一列的值是一定的。由于这一列上仅仅能向下走。初始化第一列，然后从第二列開始处理，处理第二列时，要一行一行的进行处理，对于第i行的第二列的那个坐标，首先先要左更新，由于从能够向右走，然后要上下更新，因此这里要分为两种情况，一时从上往下走。二是从下往上走，对某坐标dp进行多次更新。取最大值。

比如第二列第二行的dp[]值进行完了左更新以后，先让它下走，更新它以下全部行的第二列的dp值，当对某一列的全部行都向下更新完成以后，还要向上更新。由于还能够向上走。

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=0x7fffffff;
int dp[maxn][maxn];
int map[maxn][maxn];
int n,m;

int max(int a,int b)
{
    if(a>b)
        return a;
    return b;
}

void DP(int c)//处理第c列
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int temp=dp[i][c-1]+map[i][c];//先比較从左边位置走一步到当前位置的金钱大小，保证向右走
        dp[i][c]=max(dp[i][c],temp);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)//从上往下走，更新第c列的每个值
        {
            temp+=map[j][c];//temp保存的是上一步走得值，加上当前的金钱。就是从一開始到当前的金钱，保证向下走
            dp[j][c]=max(dp[j][c],temp);
        }
    }

    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int temp=dp[i][c-1]+map[i][c];//先比較从左边位置走一步到当前位置的金钱大小，保证向右走
        dp[i][c]=max(dp[i][c],temp);
        for(int j=i-1;j>=1;j--)//从下往上走。更新第c列的每个值
        {
            temp+=map[j][c];//保证向上走
            dp[j][c]=max(dp[j][c],temp);
        }
    }
}

int main()
{
    int t;cin>>t;
    int c=1;
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>map[i][j];
            dp[i][j]=-inf;
        }
        dp[1][1]=map[1][1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
            dp[i][1]=dp[i-1][1]+map[i][1];
        for(int j=2;j<=m;j++)
            DP(j);
       /* for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
                cout<<dp[i][j];
            cout<<endl;
        } */
        printf("Case #%d:\n",c++);
        printf("%d\n",dp[1][m]);
    }
    return 0;
}

再附上一份超时的DFs代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
int sp[maxn*maxn];
int n,m;
int map[maxn][maxn];
bool visit[maxn][maxn];
int dx[3]={0,-1,1};
int dy[3]={1,0,0};
int c;
const int inf=0x7fffffff;
int ans;
int temp;

int MAX(int a,int b)
{
    if(a>b)
        return a;
    return b;
}
bool judge(int x,int y)
{
    if(x<1||x>n||y<1||y>m)
        return false;
    return true;
}
void dfs(int x,int y,int step)
{

    if(x==1&&y==m)
    {
       // for(int i=1;i<=step-1;i++)
           // cout<<sp[i]<<" "<<endl;
        ans=MAX(ans,sp[step-1]);
        return;
    }
    for(int i=0;i<3;i++)
    {
        int xx=x+dx[i];
        int yy=y+dy[i];
        if(judge(xx,yy)&&!visit[xx][yy])
        {
            visit[xx][yy]=1;
            sp[step]=sp[step-1]+map[xx][yy];
            dfs(xx,yy,step+1);
            visit[xx][yy]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    int t;cin>>t;c=1;
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=-inf;
        memset(visit,0,sizeof(visit));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&map[i][j]);
        visit[1][1]=1;
        sp[1]=map[1][1];
        dfs(1,1,2);
        printf("Case #%d:\n",c++);
      //  cout<<"Case #"<<c++<<":"<<endl;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}