语义后承（semantic consequence），句法后承（syntactic consequence），实质蕴含（material implication / material conditional）

在数理逻辑系统中没有使用过，仅在数学证明中使用过。这个符号不是一个标准命题形式语言中的符号。而是一个日常语言中的符号，它的意义是模糊的。

• 语义后承（semantic consequence），符号是（\models）。语义后承在一般情况下是连接一个命题集合和一个命题。如果，在任何一种语义赋值下，只要命题集合中的每一个命题都为真，那么就一定为真，那么，我们就说是的语义后承，记作。
• 句法后承（syntactic consequence），符号是（\vdash）。句法后承的用法和语义后承类似，也是连接一个命题集合和一个命题，如，表示的是可以通过句法证明的方式从命题集中得出。即，存在一个证明，使得每个前提要么是公理，要么是中的命题，而证明的结论是。具体来说，一个证明是一个命题序列，其中每个命题要么是公理，要么是前提，要么是由前面的命题通过证明规则得到的。其中最后一个称为结论。
• 实质蕴含（material implication / material conditional），符号是（\rightarrow） 。实质蕴含是一个命题逻辑中的二元算子，连接的是两个命题。在句法系统中，由 Hilbert 的前两条公理完全刻画，由第三条公理刻画它和否定的关系。[1] 在语义系统中， 我们说当且仅当或者。就是说，如果一个实质蕴含条件句成立，就是说，前件（上面的 p）为真的情况下，后件（上面的 q）不可能为假。[2]

除此之外没有别的常用的，并且经过形式定义的符号。至于，其实就是单纯表示推出，这种推出是没有严格定义的，一般情况下在简单的数学系统中，由于系统的强完全性和强可靠性[3]，句法后承和语义后承等价，那么这时推出就同时都是两种推出。但是，据我看到 wiki 中的说法， 只表示逻辑后承，但是没有具体区分是语义后承还是句法后承，所以对于完全性和可靠性不成立的系统，这个符号就是模糊的。

当然，前面的语义后承和句法后承也不是数理逻辑系统中的符号，这是元语言符号。并且，在句法系统中不谈论真假，在语义系统中不谈论证明。

当然，在不同的符号系统中，逻辑学家可能会采用来替代（实质蕴涵），用替代（或者），用替代（且），用替代（非，否定）。但是我不太清楚到底哪些人是用来表示什么。

[1] Hilbert 的公理系统可以写作三个公理模式加一个规则：



为什么说是公理模式呢？因为这里的、、都是元语言中用来代表合式公式的符号。换而言之，这个系统中有无穷多条公理。
至于推理规则，就只有一个 MP 规则：，中间的表示证明系统中的推出，并且，这里的和也都是元语言中代表合式公式的符号。

这种情况下，如果我们要证明（从空集出发能够推出，即表示在系统内可证），那么我们要写出如下命题序列：

1. （公理 1）
2. （公理 2）
3. （1、2，MP 规则）
4. （公理 1）
5. （4、3，MP 规则）

[2] 但是在语义系统中，如果我们要说明（即，是空集的语义后承，或者说，是永真的）。那么我们只需要说明，由于在 p 为真和 p 为假的情况下，根据实质蕴含算子的语义规则，当且仅当或者，我们都能得到为真。因此，我们会说这个公式是空集的语义后承。

[3] 强完全性：对于任意的公式集合，对于任意的公式，如果，那么 。强可靠性： 对于任意的公式集合，对于任意的公式，如果，那么。而弱完全性是，方式为真的公式都是可证的；弱可靠性是，凡是可证的公式都是为真的。 在有完全性和可靠性的基础上，没有必要在实际运用中区分两种推出。
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