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1. ($45‘=10‘+10‘+10‘+15‘$) 求下列极限或指定函数的值:
(1) 求 $\dps{\vlm{n}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}}$;
(2) 求 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{5}{6}\cdots \frac{2n-1}{2n}}}$;
(3) 求 $\dps{\lim_{x\to +\infty}\sez{\sex{x^3-x^2+\frac{x}{2}}\cdot e^\frac{1}{x}-\sqrt{x^6+1}}}$;
(4) 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的邻域内二阶可导, 且 $\dps{\lim_{x\to 0}\sex{1+x+\frac{f(x)}{x}}^\frac{1}{x}=e^3}$. 求 $f(0)$, $f‘(0)$, $f‘‘(0)$ 的值.
解答:
(1) 由 Stolz 公式, $$\bex \mbox{原极限}=\vlm{n}\frac{(n+1)!}{(n+1)!-n!} =\vlm{n}\frac{n+1}{(n+1)-1}=1. \eex$$
(2) 由 $$\bex \frac{2k-2}{2k-1}<\frac{2k-1}{2k}<\frac{2k}{2k+1} \eex$$ 知 $$\bex \sex{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}}^2 >\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-1}{2n}=\frac{1}{4n}, \eex$$ $$\bex \sex{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{2n-1}{2n}}^2 <\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\cdots \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{1}{2n+1}. \eex$$ 于是 $$\bex \frac{1}{(2n+1)^{\frac{1}{2n+1}\cdot \frac{2n+1}{2n}}} <\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{5}{6}\cdots \frac{2n-1}{2n}} <\frac{1}{(4n)^{\frac{1}{4n}\cdot 2}}, \eex$$ 原极限 $=1$.
(3) $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\lim_{x\to +\infty}x^3\sez{ \sex{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}}e^\frac{1}{x}-\sqrt{1+\frac{1}{x^6}} }\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{\sex{1-t+\frac{t^2}{2}}e^t-\sqrt{1+t^6}}{t^3}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{\sex{1-t+\frac{t^2}{2}}\sez{1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+o(t^3)} -\sez{1+\frac{t^6}{2}+o(t^6)}}{t^3}\\ &=\frac{1}{6}. \eea \eeex$$
(4) 由 $$\bex \sex{1+x+\frac{f(x)}{x}}^\frac{1}{x} =\exp\sez{\frac{\ln \sex{1+x+\frac{f(x)}{x}}}{x}} \eex$$ 知 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0\ra f(0)=f‘(0)=0. \eex$$ 又由 $$\beex \bea \lim_{x\to 0}\frac{\ln\sex{1+x+\frac{f(x)}{x}}}{x} &=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x+\frac{f(x)}{x}}\sez{1+\frac{f‘(x)x-f(x)}{x^2}}\\ &=1+\lim_{x\to 0}\frac{f‘(x)x-f(x)}{x^2}\\ &=1+\lim_{x\to 0} \frac{f‘‘(x)x}{2x}\\ &=1+\frac{f‘‘(0)}{2} \eea \eeex$$ 知 $f‘‘(0)=4.$
2. ($15‘$) 设函数 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且在 $(a,b)$ 上 $g‘(x)\neq 0$, 证明: 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex \frac{f(a)-f(\xi)}{g(\xi)-g(b)}=\frac{f‘(\xi)}{g‘(\xi)}. \eex$$
证明: 考虑 $$\bex F(x)=f(a)g(x)+g(b)f(x)-f(x)g(x), \eex$$ 则 $F(a)=F(b)=f(a)g(b)$. 由 Rolle 定理, 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex 0=F‘(\xi)=f(a)g‘(\xi)+g(b)f‘(\xi) -f‘(\xi)g(\xi)-f(\xi)g‘(\xi). \eex$$ 整理后即得结论.
3. ($15‘$) 设函数 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上有连续的一阶导数, 且 $f(2)=f(4)=0$. 证明: $$\bex \max_{2\leq x\leq 4} |f‘(x)|\geq \sev{\int_2^4 f(x)\rd x}. \eex$$
证明: 我们有 $$\beex \bea \sev{\int_2^3 f(x)\rd x} &=\sev{\int_2^3 \int_2^x f‘(t)\rd t\rd x}\\ &=\sev{\int_2^3 \int_t^3 f‘(t)\rd x\rd t}\\ &=\sev{\int_2^3 f‘(t)(3-t)\rd t}\\ &\leq \max_{2\leq x\leq 4} |f‘(x)|\cdot \int_2^3 (3-t)\rd t\\ &=\frac{1}{2}\max_{2\leq x\leq 4} |f‘(x)|. \eea \eeex$$ 同理, $$\bex \sev{\int_3^4 f(x)\rd x}\leq \frac{1}{2}\max_{2\leq x\leq 4} |f‘(x)|. \eex$$ 相加即得结论.
4. ($13‘$) 设有方程 $x=m+q\cdot \sin x$ ($0<q<1$). 若 $$\bex x_0=m,\quad x_{n+1}=m+q\cdot \sin x_n\ (n=0,1,2,\cdots). \eex$$ 证明: $\sed{x_n}$ 收敛, 设 $\dps{\vlm{n}x_n=l}$, 再证明 $l$ 是方程 $x=m+q\cdot \sin x$ 的唯一解.
证明: 设 $f(x)=x-m-q\cdot \sin x$, 则 $$\bex f(m-1)=-1-q\cdot \sin (m-1)<0<1-q\cdot \sin m=f(m+1). \eex$$ 由连续函数的介值定理, $f(x)=0$ 存在一个解 $l\in (m-1,m+1)$. 又 $$\bex f‘(x)=1-q\cdot \cos x\geq 1-q>0, \eex$$ 而 $f(x)=0$ 有且仅有一个解 $l$. 由 $$\bex |x_n-l|&=q\sev{\sin x_{n-1}-\sin l} \leq q|x_{n-1}-l|\leq \cdots \leq q^n|x_0-l|\to 0\quad\sex{n\to\infty} \eex$$ 即知 $\dps{\vlm{n}x_n=l}$.
5. ($13‘$) 证明: 函数项级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}\sez{e^x-\sex{1+\frac{x}{n}}^n}}$ 在任何有穷区间 $[a,b]$ 上一致收敛.
证明: 定义 $$\bex f(x,t)=\sedd{\ba{ll} (1+xt)^\frac{1}{t},&x\in [a,b], 0<t\leq 1,\\ e^x,&x\in [a,b],\ t=0. \ea} \eex$$ 则由 $$\bex \lim_{t\to 0}f(x,t)=e^x=f(x,0) \eex$$ 知 $f$ 在 $(x,t)\in [a,b]\times [0,1]$ 上连续, 而有界, 设为 $M>0$. 当 $$\bex a\leq x\leq b,\quad 0<t<1,\quad xt>-1 \eex$$ 时, $$\beex \bea \sev{\frac{\p f}{\p t}(x,t)} &=\sev{ (1+xt)^\frac{1}{t} \frac{\frac{x}{1+xt}\cdot t-\ln (1+xt)}{t^2} }\\ &=f(x,t)\frac{(1+xt)\ln(1+xt)-xt}{(1+xt)t^2}\\ &\quad\sex{\frac{s}{1+s}\leq \ln (1+s)\leq s,\quad s>-1}\\ &\leq M \frac{(1+xt)\cdot xt-xt}{(1+xt)t^2}\\ &\leq M\frac{x^2}{1+xt}. \eea \eeex$$ 我们有 $$\beex \bea \sev{\frac{1}{n}\sez{e^x-\sex{1+\frac{x}{n}}^n}} &=\sev{\frac{1}{n}\sez{f(x,0)-f\sex{x,\frac{1}{n}}}}\\ &=\frac{1}{n^2}\sev{\frac{\p f}{\p t}(x,\xi)}\quad\sex{0<\xi<\frac{1}{n}}\\ &\leq \frac{1}{n^2}\frac{Mx^2}{1+x\xi}\\ &\leq \frac{1}{n^2}\frac{MA^2}{1/2}\\ &\quad\sex{A=\max\sed{|a|,|b|},\ 1+x\xi\geq 1-\frac{|x|}{n} \geq 1-\frac{A}{n}\geq \frac{1}{2},\ n\geq2A}. \eea \eeex$$ 由 Weierstrass 优级数判别法即知结论成立.
6. ($13‘$) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, 且 $f‘‘(x)>0$. 证明: $$\bex f\sex{\frac{a+b}{2}}\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\rd x. \eex$$
证明: 由 $f‘‘>0$ 知 $f$ 为凸函数, 而 $$\bex \frac{f(x)+f(a+b-x)}{2}\geq f\sex{\frac{a+b}{2}},\quad a\leq x\leq \frac{a+b}{2}. \eex$$ 积分而有 $$\bex \int_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)\rd x +\int_a^{\frac{a+b}{2}}f(a+b-x)\rd x\geq 2\cdot \frac{b-a}{2}f\sex{\frac{a+b}{2}}. \eex$$ 换元后即知结论.
7. ($13‘$) 设 $a_1,a_2,\cdots$ 均为常数 (我把题目改为 ``$\sed{a_n}$ 为有界数列, 界为 $M>0$‘‘). 证明: 函数项级数 $\dps{\vsm{n}a_n\cdot\frac{1}{n!}\int_0^x t^n\cdot e^{-t}\rd t}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛.
证明: $$\beex \bea \sev{a_n\cdot\frac{1}{n!}\int_0^x t^n\cdot e^{-t}\rd t} &=\sev{a_n\cdot \frac{1}{n!} \cdot e^{-\xi_n}\int_0^x t^n\rd t}\quad\sex{\xi_n\mbox{ 在 }0,x\mbox{ 之间}}\\ &\leq \frac{M e^AA^{n+1}}{(n+1)!}\quad\sex{A=\max\sed{|a|,|b|}>0}. \eea \eeex$$
8. ($13‘$) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, $f(x)\geq c>0$. 用可积性准则证明: 函数 $\ln f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.
证明: 由 $$\bex \sev{\ln f(x)-\ln f(y)}=\frac{1}{\xi}|f(x)-f(y)|\leq \frac{1}{c}|f(x)-f(y)| \eex$$ 及带振幅的可积性准则, 即知结论.
9. ($10‘$) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续的二阶导数, 证明: 在 $(a,b)$ 内存在 $\xi$, 使得 $$\bex \int_a^b f(x)\rd x=(b-a)f\sex{\frac{a+b}{2}} +\frac{1}{24}(b-a)^3f‘‘(\xi). \eex$$
证明: 由 $$\beex \bea f(x)&=f\sex{\frac{a+b}{2}} +\int_{\frac{a+b}{2}}^xf‘(t)\rd t\\ &=f\sex{\frac{a+b}{2}} +\int_{\frac{a+b}{2}}^x\sez{ f‘\sex{\frac{a+b}{2}} +\int_{\frac{a+b}{2}}^tf‘‘(s)\rd s}\rd t\\ &=f\sex{\frac{a+b}{2}} +f‘\sex{\frac{a+b}{2}} \sex{x-\frac{a+b}{2}} +\int_{\frac{a+b}{2}}^x \int_{\frac{a+b}{2}}^t f‘‘(s)\rd s\rd t \eea \eeex$$ 知 $$\beex \bea \int_a^b f(x)\rd x &=(b-a)f\sex{\frac{a+b}{2}} +\int_a^b \int_{\frac{a+b}{2}}^x \int_{\frac{a+b}{2}}^t f‘‘(s)\rd s\rd t \rd x\\ &=(b-a)f\sex{\frac{a+b}{2}} +f‘‘(\xi)|\Omega|\\ &\quad\sex{\Omega=\sed{(x,t,s);\ x\mbox{ 在 }a,b\mbox{ 之间},\atop t\mbox{ 在 }\frac{a+b}{2},x\mbox{ 之间},\ s\mbox{ 在 }\frac{a+b}{2},t\mbox{ 之间}}}\\ &=(b-a)f\sex{\frac{a+b}{2}} +\frac{1}{24}(b-a)^3f‘‘(\xi). \eea \eeex$$
[家里蹲大学数学杂志]第305期华中师范大学2005年数学分析考研试题参考解答
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3935819.html
