欧拉函数总结【数论】【欧拉函数】

     欧拉函数的定义:euler(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).

     eg：euler(8)=4。由于1,3,5,7均和8互质。

     能够推出下面公式：

   euler(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))
          =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);
          =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk) 

       故euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),当中p1,p2……pn为x的全部素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 
      

      依据以上性质能够推出： 

  若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;    

 若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

     欧拉公式的延伸：

1.      一个数的全部质因子之和是euler(n)*n/2。
2.  一个质数n的欧拉函数是n-1           

      以下给出求euler函数的程序：

//直接求解欧拉函数，返回euler(n)
int euler(int n){ 
     int res=n,a=n;
     for(int i=2;i*i<=a;i++){
         if(a%i==0){
             res=res/i*(i-1);   //先进行除法是为了防止中间数据的溢出
             while(a%i==0) a/=i;
         }
     }
     if(a>1) res=res/a*(a-1);
     return res;
}

     在给出一个筛法打euler函数表：

//筛选法打欧拉函数表
#define Max 1000001
int euler[Max];
void Init(){
     euler[1]=1;
     for(int i=2;i<Max;i++)
       euler[i]=i;
     for(int i=2;i<Max;i++)
        if(euler[i]==i)
           for(int j=i;j<Max;j+=i)
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}

poj3090   代码