概率论Q

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 泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。

比如在一段时间t（比如 1 个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数（比如一直是 200 人），而应该符合某种随机规律：

假如在 1 个小时内来 200 个学生的概率是 10%，来 180 个学生的概率是 20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。 

这个
分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。生活中，当一个随机事件，例如来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。

其实泊松分布在日常中还是很好辨别的，因为他有一个累计的过程。曾看到一篇用泊松分布来分析美国治安的例子，引来给大家看看： 美国枪击案假定它们满足"泊松分布"的三个条件：  

  （1）枪击案是小概率事件。 
  （2）枪击案是独立的，不会互相影响。   

  （3）枪击案的发生概率是稳定的。 
显然，第三个条件是关键。如果成立，就说明美国的治安没有恶化；如果不成立，就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提高，美国治安恶化。根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况如下： 

计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2 。 

上图中，

蓝色的条形柱是实际的观察值，

红色的虚线是理论的预期值。

可以看到，

观察值与期望值还是相当接近的。

我们用"卡方检验"，检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。卡方统计量 = Σ[(观察值-期望值)^2/期望值] 
        计算得到，卡方统计量等于9.82。查表后得到，置信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。因此，卡方统计量小于临界值，这表明枪击案的观察值与期望值之间没有显著差异。所以，可以接受"发生枪击案的概率是稳定的"假设，也就是说，从统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。 
       但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此，这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。如果确实发生了，泊松分布就不成立了。

PMF( 概率质量函数 ): 是对 离散随机变量 的定义. 是 离散随机变量 在各个特定取值的概率. 该函数通俗来说,就是 对于一个离散型概率事件来说, 使用这个函数来求它的各个成功事件结果的概率.

PDF ( 概率密度函数 ): 是对 连续性随机变量 的定义. 与PMF不同的是 PDF 在特定点上的值并不是该点的概率, 连续随机概率事件只能求一段区域内发生事件的概率, 通过对这段区间进行积分来求. 通俗来说, 使用这个概率密度函数 将 想要求概率的区间的临界点( 最大值和最小值)带入求积分. 就是该区间的概率.

各种分布及应用场合（建模对象）
http://www.360doc.com/content/14/0110/18/15459877_344179498.shtml