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快三个月没做反演题了吧……
感觉高一上学期学的全忘了……
所以还得从零开始学推式子。
# bzoj1011
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原题意思是求以下式子：
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{i=1}^{b}[gcd(i,j)==k]$
首先把k拿下来，得到
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a/k}\sum\limits_{i=1}^{b/k}[gcd(i,j)==1]$
然后考虑mobius函数的性质：
$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=1(n==1),0(n>1)$
所以可以把那个gcd的式子替换下，得到：
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a/k}\sum\limits_{i=1}^{b/k}\sum\limits_{d|gcd(i,j)}\mu(i)$
我们稍微改写一下这个式子：
$Ans=\sum\limits_{i=1}^{a/k}\sum\limits_{i=1}^{b/k}\sum\limits_{d|i,d|j}\mu(i)$
这个时候我们把$\mu(i)$提前（也就是交换枚举顺序）得到下面的式子：
$Ans=\sum\limits_{d=1}^{min(a/k,b/k)}\mu(i)\sum\limits_{i=1,d|i}^{a/k}\sum\limits_{j=1,d|j}^{b/k}1$
这个式子比较蠢，我们能看出来这个式子的意思就是：
$Ans=\sum\limits_{d=1}^{min(a/k,b/k)}\mu(i)\frac{a/k}{d}\frac{b/k}{d}$
考虑到后者只有$\sqrt{\frac{a}{k}}$种取值
所以下底函数分块，前缀和优化下就能过了。
#include<bits/stdc++.h> #define N 100005 using namespace std; typedef long long ll; int prime[N],mu[N],s[N],vis[N],cnt=0; void calcmu(){ cnt=0;mu[1]=1;memset(vis,1,sizeof(vis)); for(int i=2;i<N;i++){ if(vis[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=cnt;j++){ int t=prime[j]*i;if(t>N)break; vis[t]=0; if(i%prime[j]==0){mu[t]=0;break;} mu[t]=-mu[i]; } } s[0]=0; for(int i=1;i<=N;i++)s[i]=s[i-1]+mu[i]; } ll calc(int n,int m,int k){ n/=k;m/=k;ll ans=0;int j=0; if(n>m)swap(n,m); for(int i=1;i<=n;i=j+1){ j=min(n/(n/i),m/(m/i)); ans+=1LL*(s[j]-s[i-1])*(n/i)*(m/i); } return ans; } inline int read(){ int f=1,x=0;char ch; do{ch=getchar();if(ch==‘-‘)f=-1;}while(ch<‘0‘||ch>‘9‘); do{x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘); return f*x; } int main(){ int T=read();calcmu(); while(T--){ int n=read(),m=read(),k=read(); printf("%lld\n",calc(n,m,k)); } return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/zcysky/p/6883976.html
