关于等价标准形的专题讨论

时间：2014-08-29 10:55:27 阅读：179 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

$\bf命题1:$任意方阵$A$均可分解为可逆阵$B$与幂等阵$C$之积

证明：设$r\left( A \right) = r$，则存在可逆阵$P,Q$，使得

P A Q = (E r 0 00)

$PAQ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_r}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right)$
从而可知

A = P ? 1 (E r 0 00) Q ? 1 = P ? 1 Q ? 1 . Q (E r 0 00) Q ? 1

$\begin{array}{l} A = {P^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_r}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right){Q^{ - 1}}\\ {\rm{ = }}{P^{ - 1}}{Q^{ - 1}}.Q\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_r}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right){Q^{ - 1}} \end{array}$
取$B = {P^{ - 1}}{Q^{ - 1}}$，$C = Q\left( {

E r 0 00

$\begin{array}{*{20}{c}} {{E_r}}&0\\ 0&0 \end{array}$ } \right){Q^{ - 1}}$,即证

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