数据结构之红黑树

红黑树是一种自平衡二叉查找树。它的统计性能要好于平衡二叉树（AVL树），因此，红黑树在很多地方都有应用。在C++ STL中，很多部分(目前包括set, multiset, map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI STL中的红黑树有一些变化，这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除等操作。

本文介绍了红黑树的基本性质和基本操作。

2. 红黑树的性质

红黑树，顾名思义，通过红黑两种颜色域保证树的高度近似平衡。它的每个节点是一个五元组：color（颜色），key（数据），left（左孩子），right（右孩子）和p（父节点）。

红黑树的定义也是它的性质，有以下五条：

性质1. 节点是红色或黑色

性质2. 根是黑色

性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）

性质4. 如果一个节点是红的，则它的两个儿子都是黑的

性质5. 从任一节点到其叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

这五个性质强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。为什么呢？性质4暗示着任何一个简单路径上不能有两个毗连的红色节点，这样，最短的可能路径全是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。同时根据性质5知道：所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

3. 红黑树的基本操作

因为红黑树也是二叉查找树，因此红黑树上的查找操作与普通二叉查找树上的查找操作相同。然而，红黑树上的插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。

3.1 插入操作

插入操作可以概括为以下几个步骤：

(1) 查找要插入的位置，时间复杂度为：O(N)

(2) 将新节点的color赋为红色

(3) 自下而上重新调整该树为红黑树

其中，第(1)步的查找方法跟普通二叉查找树一样，第(2)步之所以将新插入的节点的颜色赋为红色，是因为：如果设为黑色，就会导致根到叶子的路径上有一条路上，多一个额外的黑节点，这个是很难调整的。但是设为红色节点后，可能会导致出现两个连续红色节点的冲突，那么可以通过颜色调换（color flips）和树旋转来调整，这样简单多了。下面讨论步骤(3)的一些细节：

设要插入的节点为N，其父节点为P，其父亲G的兄弟节点为U（即P和U是同一个节点的两个子节点）。

[1] 如果P是黑色的，则整棵树不必调整便是红黑树。

[2] 如果P是红色的（可知，其父节点G一定是黑色的），则插入z后，违背了性质4，需要进行调整。调整时分以下3种情况：

（a）N的叔叔U是红色的

如上图所示，我们将P和U重绘为黑色并重绘节点G为红色(用来保持性质5)。现在新节点N有了一个黑色的父节点P，因为通过父节点P或叔父节点U的任何路径都必定通过祖父节点G，在这些路径上的黑节点数目没有改变。但是，红色的祖父节点G的父节点也有可能是红色的，这就违反了性质4。为了解决这个问题，我们在祖父节点G上递归调整颜色。

（b）N的叔叔U是黑色的，且N是右孩子

如上图所示，我们对P进行一次左旋转调换新节点和其父节点的角色; 接着，按情形(c)处理以前的父节点P以解决仍然失效的性质4。

（c）N的叔叔U是黑色的，且N是左孩子

如上图所示，对祖父节点G 的一次右旋转; 在旋转产生的树中，以前的父节点P现在是新节点N和以前的祖父节点G 的父节点， 然后交换以前的父节点P和祖父节点G的颜色，结果的树满足性质4，同时性质5[4]也仍然保持满足。

3.2 删除操作

删除操作可以概括为以下几个步骤：

(1) 查找要删除位置，时间复杂度为：O(N)

(2) 用删除节点后继或者节点替换该节点（只进行数据替换即可，不必调整指针，后继节点是中序遍历中紧挨着该节点的节点，即：右孩子的最左孩子节点）

(3) 如果删除节点的替换节点为黑色，则需重新调整该树为红黑树

其中，第(1)步的查找方法跟普通二叉查找树一样，第(2)步之所以用后继节点替换删除节点，是因为这样可以保证该后继节点之上仍是一个红黑树，而后继节点可能是一个叶节点或者只有右子树的节点，这样只需用有节点替换后继节点即可达到删除的目的。如果需要删除的节点有两个儿子，那么问题可以被转化成删除另一个只有一个儿子的节点的问题。（没看懂？？？可参考：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A2%E9%BB%91%E6%A0%91 ）在第(3)步中，如果，如果删除节点为红色节点，则他的父亲和孩子全为黑节点，这样直接删除该节点即可，不必进行任何调整。如果删除节点是黑节点，分四种情况：

设要删除的节点为N，其父节点为P，其兄弟节点为S。

由于N是黑色的，则P可能是黑色的，也可能是红色的，S也可能是黑色的或者红色的

（1）S是红色的

此时P肯定是红色的。我们对N的父节点进行左旋转，然后把红色兄弟转换成N的祖父。我们接着对调 N 的父亲和祖父的颜色。尽管所有的路径仍然有相同数目的黑色节点，现在 N 有了一个黑色的兄弟和一个红色的父亲，所以我们可以接下去按 (2)、(3)或(4)情况来处理。

（2）S和S的孩子全是黑色的

在这种情况下，P可能是黑色的或者红色的，我们简单的重绘S 为红色。结果是通过S的所有路径，它们就是以前不通过 N 的那些路径，都少了一个黑色节点。因为删除 N 的初始的父亲使通过 N 的所有路径少了一个黑色节点，这使事情都平衡了起来。但是，通过 P 的所有路径现在比不通过 P 的路径少了一个黑色节点。接下来，要调整以P作为N递归调整树。

（3）S是黑色的，S的左孩子是红色，右孩子是黑色

这种情况下我们在 S 上做右旋转，这样 S 的左儿子成为 S 的父亲和 N 的新兄弟。我们接着交换 S 和它的新父亲的颜色。所有路径仍有同样数目的黑色节点，但是现在 N 有了一个右儿子是红色的黑色兄弟，所以我们进入了情况（4）。N 和它的父亲都不受这个变换的影响。

（4）S是黑色的，S的右孩子是红色

在这种情况下我们在 N 的父亲上做左旋转，这样 S 成为 N 的父亲和 S 的右儿子的父亲。我们接着交换 N 的父亲和 S 的颜色，并使 S 的右儿子为黑色。子树在它的根上的仍是同样的颜色，所以属性 3 没有被违反。但是，N 现在增加了一个黑色祖先: 要么 N 的父亲变成黑色，要么它是黑色而 S 被增加为一个黑色祖父。所以，通过 N 的路径都增加了一个黑色节点。

4. 参考资料

(1) 《算法导论》，第二版

(2) http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A2%E9%BB%91%E6%A0%91

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