标签：transform 快速傅立叶 ... 单位 分享 分解 diy 问题 根据
DFT(Discrete Fourier Transform)：离散傅立叶变换
直观的计算DFT算法复杂度为O(N*N)。
FFT(Fast Fourier Transformation)：快速傅立叶变换，DFT的快速算法。凡将DFT算法复杂度降至O(N*logN)的算法，均可称为FFT。
最常用的FFT为奇偶分治法，要求输入点个数N为2的幂。下文中均假设N为2的幂。
N个点的DFT处理器定义：
N个点的DFT处理器有N个输入和N个输出，输入N个点的值，输出各点的变换结果值。
（注意左边x为小写，右边X为大写）
黑箱内逻辑为：
其中
为N次单位根。
根据N个点的DFT处理器的定义，可以推得N/2个点的DFT处理器的定义。
N/2个点的DFT处理器定义：
N/2个点的DFT处理器有N/2个输入和N/2个输出，输入N/2个点的值，输出各点的变换结果值。
黑箱内逻辑为：
考虑下面问题：
问题一：将N/2个偶点x[0],x[2],x[4],...,x[N-2]输入N/2个点的DFT处理器，设输出为G[0]，G[1],...,G[N/2-1]，那么G[k](k=1~N/2-1)等于多少？
解：根据N/2个点的DFT处理器定义，得：
问题二：将N/2个奇点x[1],x[3],x[5],...,x[N-1]输入N/2个点的DFT处理器，设输出为H[0],H[1],...,H[N/2-1]，那么H[k](k=1~N/2-1)等于多少？
解：根据N/2个点的DFT处理器定义，得
考虑下面问题：
假设我现在想计算N个点x[0]~x[N-1]的DFT的结果X[0]~X[N-1]，但是凑巧学前班没毕业不会算数儿，所以只能借助一个现成的N个点的DFT处理器来完成计算，但凑巧手头没有N个点的DFT处理器，却凑巧有两个N/2个点的DFT处理器，那么我还能不能完成计算呢？
解：
能完成计算，可以用两个N/2个点的DFT处理器DIY一个N个点的DFT处理器，然后用这个DIY的DFT处理器完成计算。
那么，如何DIY呢？
首先证明恒等式：
然后据此恒等式连电路，连好结果如下：
由此可见，可以用两个N/2个点的DFT处理器组装成N个点的DFT处理器。重复这一思想，那两个N/2个点的DFT处理器每个都可以由两个N/4个点的DFT处理器组成，由于N为2的幂，所以此过程可反复进行，直到分解为1个点的DFT处理器为止。
此即基于奇偶分治的FFT算法。
算法复杂度分析：（待续）
参考：
https://www.youtube.com/watch?v=EsJGuI7e_ZQ
https://www.youtube.com/watch?v=1mVbZLHLaf0
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原文地址：http://www.cnblogs.com/wantnon/p/7007954.html
