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【概率论与数理统计】假设检验

时间:2017-06-17 19:31:53      阅读:139      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:实验   水平   lte   rac   sig   决定   问题   重要   标准   

一、基本概念

假设检验和参数估计解决的是不同的问题,参数估计是对参数$\theta$作出一个估计比如均值为$\mu$,而假设检验则是对估计的检验,比如均值真的是$\mu$嘛?

1. 定义

假设检验指的是使用统计学的方法判定某假设为真的概率. 通常假设检验包含以下四个步骤:

1.1 形成零假设null hypothesis $H_0$和备择假设alternative hypothesis$H_a$

1.2 确定可以用来判断零假设真假的检验统计参数(test statistic)

1.3 计算P-value,P-value代表着null hypothesis为真的概率,P值越小,零假设为真可能性越小,备择假设为真的可能性越大.

1.4 将P-value和接受阈值比较,如果$p<\alpha$ 则具有统计显著性,零假设被排除,则备假设为真.

注:零假设也常称原假设,备择假设(抛弃原假设之后可以选择的假设)也常称原假设

2. 检验统计量,接受域,否定域,临界域,临界值

3.功效函数

假设总体分布包含若干个未知参数$\theta_1,...,\theta_k.H_0$是关于这些参数的一个原假设,设有了样本$X_1,...X_n$,而$\phi$是基于这些样本对$H_0$作的检验则$\phi$功效函数为

$\beta_\phi(\theta_1,...\theta_k) = P\theta_1,...,\theta_k(在检验\phi之下,H_0被否定)$

4. 两类错误、检验的水平

5. 一致最优检验

 

它是未知参数$\theta_1,...,\theta_k$的函数,当某一特定参数值使得$H_0$成立我们希望功效函数尽量小,当都已特定参数值使得备择假设$H_1$成立我们希望功效函数尽量大(否定零假设)

4. 两类错误

第一类错误:H_0正确被否定;第二类错误H_1错误,被接受

若$\theta_1,...\theta_k$ 记为总体分布的参数, $\beta_\phi(\theta_1,...\theta_k)记检验\phi$的功效函数,则犯第一类,第二列错误的概率为

举例:

假设我们投掷一个四面体的骰子(1,2,3,4)1000次,290次观察到4. 接下来我们判定这个结果是否是有偏的biased(骰子是否公正).

1. 此问题中如果骰子没有任何问题: 我们的null hypothesis为$H_0:p = 0.25$

2. 为了证明$H_0$真假,我们接下来要收集evidence来支持或者否定null hypothesis.在此次实验中我们收集到的evidence为$\hat{p} = \frac{y}{n} = 0.29$.

3. 这一步使用我们evidence来决定是否应该支持/否定(或者说以多大的概率)1中的$H_0$

根据中心极限定理样本比例:$\hat{p} = \frac{Y}{n}$近似为均值$\mu = 0.25$, 标准差$\sigma = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = 0.01369$

那么:

$$Z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

Z服从$N(0,1)$的正态分布

 技术分享

至此我们可以通过正态分布判断接受$\hat{p} = 0.29$为unbiased的结果的错误概率有多大。

 

 

二、重要参数检验

1.  正态总体均值检验

1.1. 方差$\sigma^2$已知

1.2. 方差$\sigma^2$未知

【概率论与数理统计】假设检验

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原文地址:http://www.cnblogs.com/vincentcheng/p/7020540.html

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