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二叉查找树（Binary Serach Tree, BST）是一棵二叉树，树上每个节点存储着一个元素。对于树上每个节点X，它的左子树中所有元素均小于X，而它的右子树中所有元素均大于X。且树上不允许出现相同的节点。
这意味着只要对树做一遍中序遍历，就得到一个有序的序列。
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一、基本操作和实现
首先定义结点的结构。
为了避免访问NULL指针，定义一个nil节点作为哨兵节点。
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constexpr int l = 0, r = 1; constexpr int inf = 0x7fffffff; |
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struct node; node *nil = 0, *root; struct node { node *ch[2]; //ch[l]为左孩子, ch[r]为右孩子 int val, size, cnt; //值, 子树包含元素个数(包括重复), 结点代表元素的个数 node(int value) : val(value), size(1), cnt(1) { ch[l] = ch[r] = nil; } void pull_up() { size = cnt + ch[l]->size + ch[r]->size; } //修正结点的size信息 int cmp(int v) { return (v < val) ? l : r; } //向左儿子走或是向右儿子走 }; |
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void init() { if (!nil) nil = new node(0); nil->ch[l] = nil->ch[r] = nil; nil->val = nil->size = nil->cnt = 0; root = nil; } |
为了方便说明，下面不区分节点和节点存储的元素。
查找操作
用关键字和根节点比较。当根节点存在时：
若小于根节点，则递归到左子树查找；
若大于根节点，则递归到右子树查找；
直到节点等于关键字。
若遍历到一个不存在节点的位置，则查找失败。
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bool exist(int val, node *t = root) { if (t == nil) return false; else if (val == t->val) return true; else return exist(val, t->ch[t->cmp(val)]); } |
寻找最值
和查找操作类似。不过总是递归到左（或右）子树查找。当该节点不存在左（或右）儿子时，该节点就是要找的最值。
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int min(node *t = root) { if(t->ch[l] != nil) return max(t->ch[l]); else return t->val; } |
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int max(node *t = root) { if(t->ch[r] != nil) return max(t->ch[r]); else return t->val; } |
插入操作
和查找操作类似。
当遍历到一个不存在节点的位置时，在该节点的位置新建一个节点。
当该节点已经等于关键字时，意味着出现了重复，根据具体情况选择计数、套个另外的数据结构或者直接不处理。
注意修正size信息。
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void insert(int val, node *&t = root) //传引用很重要 { if (t == nil) t = new node(val); //找到目标位置 else if (val == t->val) t->cnt++; //重复 else insert(val, t->ch[t->cmp(val)]); //递归寻找目标 t->pull_up(); } |
删除操作
基本上还是类似于查找操作。
找到相应结点时，先处理计数，若计数已经小于1，才需要删除。
若该节点为叶子，可以直接删除；
若只有一个儿子，可以用它的儿子代替该节点然后删除；
若有两个儿子，则用右子树中的最小节点的值代替该节点的值，这个最小节点必定没有左儿子（如果有左儿子，它的左儿子必定比它小，不符合最小节点的设定），然后通过上面两种情况删除这个最小节点。
注意修正size信息。
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void remove(int val, node *&t = root) { if (t == nil) return; //找不到目标结点 else if (val != t->val) remove(val, t->ch[t->cmp(val)]); //递归寻找结点 else if (--(t->cnt) < 1) //找到结点计数减一检查是否需要删除结点 { if (t->ch[l] == nil || t->ch[r] == nil) //没有儿子或一个儿子 { node *k = (t->ch[l] != nil) ? t->ch[l] : t->ch[r]; delete t; t = k; } else { node *k = t->ch[r]; while (k->ch[l] != nil) k = k->ch[l]; t->val = k->val; t->cnt = k->cnt; k->cnt = 1; remove(k->val, t->ch[r]); } } t->pull_up(); } |
查找K大元素
和查找操作类似。不过是用K和左子树的秩+1比较。因为根节点就是中序遍历时的第"左子树的秩+1"个结点，也就是第"左子树的秩+1"大的结点。
若K < 左子树的秩+1，递归进入左子树查找；
若左子树的秩+1 <= K <= 左子树的秩+计数，第K大元素就是该节点；
否则递归进入右子树查找第K-(左子树的秩+计数)大结点。
注意处理K<1或k>该子树的秩的情况。
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int kth(int k, node *t = root) { if (k < 1 || k > t->size) return inf; else if (k <= t->ch[l]->size) return kth(k, t->ch[l]); //在左子树 else if (k <= t->ch[l]->size + t->cnt) return t->val; //就是t else return kth(k - t->ch[l]->size - t->cnt, t->ch[r]); //在右子树 } |
统计小于X的元素个数
和查找操作类似，边查找边统计。
若该节点小于X，则给统计加上左子树的秩+计数，然后递归进入右子树；
若该节点等于X，则给统计加上左子树的秩，直接返回；
若该节点大于X，则递归进入左子树。
遍历至空节点，直接返回0。
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int get_lower(int val, node *t = root) { if (t == nil) return 0; else if (val < t->val) return get_rank(val, t->ch[l]); else if (val == t->val) return t->ch[l]->size; else return t->ch[l]->size + t->cnt + get_rank(val, t->ch[r]); } |
查询X的排名
小于X的元素个数+1
二、平衡二叉查找树
naive的BST最大的问题便是经过数次插入和删除操作后，树将会变得不平衡，甚至退化为一条链。
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为了解决这个问题，平衡二叉查找树（平衡树）应运而生。
旋转操作
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旋转前，k2为父节点，k1为k2的子结点。旋转后，k1为父节点，k2为k1的子结点。旋转成功让k1上升了一层，k2下降了一层。
观察树，可以得到，旋转不破坏二叉查找树的性质。于是让k1的右儿子Y作为k2的左儿子，再让k2作为k1的右儿子，最后访问k2的父亲，让k1代替k2成为它的儿子。
几乎所有的平衡树都通过旋转操作调整树的形态使树保持平衡。
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void rotate(node *&t, int d) { node *k = t->ch[d ^ 1]; //找儿子 t->ch[d ^ 1] = k->ch[d]; //换儿子 k->ch[d] = t; //认儿子 t->pull_up(); k->pull_up(); t = k; //换父亲 } |
常见的平衡树
现有的平衡树主要有两类：
一类要求每次插入、删除后，检查整棵树是否符合特定的平衡条件，如Treap、AVL树、红黑树、Size Balanced Tree。若不符合则通过旋转使得树重新平衡。
另一类平衡树并不强制要求树符合平衡条件，而是每次操作后都使用一次自调整操作改善平衡树，使得后面的操作效率更高。即Splay树。
树堆Treap
每次新建节点时给节点一个随机的优先级。从优先级的角度看时，要求树符合堆的性质，即每个节点的优先级都小于（或者都大于）两个儿子的优先级。每次插入和删除后，自底向上检查，将优先度较小的旋转到下方。
代码量小，效率高。功能简单。
伸展树Splay
每次访问树之后通过一系列的旋转（称为伸展）将最后一个访问的节点推上根节点的位置。
代码量较小，效率较高，支持快速合并和分裂。稍微改造可以用来维护数列（来自BST高于BST）。
非旋转树堆Treap
基于合并和分裂的Treap。
代码量较小，效率低，支持快速合并和分裂，同样可以用来维护数列。
替罪羊树Scapegoat Tree
每次插入节点后自底向上检查是否符合特定的平衡条件，以最上方的不符合条件的节点作为根，将整棵子树拆散，并重新组装成一棵平衡的二叉树。
代码量一般，平均意义下跑得飞快。
Size Balanced Tree
国内OI选手陈启峰发明，要求树的每个节点的一个儿子的秩（即以该节点为根节点的子树的节点数）分别大于或等于另一个儿子的两个儿子的秩。即对于节点X，满足(
。
代码量一般，效率高。
AVL树
要求树的每个节点的左右儿子的深度差不超过1。插入和删除后自底向上通过单旋转或双旋转调整。
代码量小，由于树趋于平衡，查找效率高，插入删除效率低。
红黑树
为2-3-4树的一种二叉树的实现。将2-3-4树的元素按照一定规则进行着色，按照在2-3-4树插入删除元素对应的方式维护红黑树。
代码量很大，插入效率高于AVL树，查找效率低于AVL树，综合性能最优。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/ssttkkl/p/7071859.html
