二分图入门

标签：算法   二分图   

判断一个图是不是二分图

用染色法，二分图是这样一个图： 有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边相连接！

判断二分图的常见方法：开始对任意一未染色的顶点染色，之后判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色， 若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断，
每次用bfs/dfs遍历都可。

二分图最大匹配匈牙利算法：

算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。

//匈牙利算法复杂度o(nm)
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1001 ,MAXM = 1001 ;
int n1,n2,m,ans; //n1,n2分别为二分图两边节点的个数,两边的节点分别用1..n1,1..n2编号,m为边数
bool g[MAXN][MAXM]; //图G邻接矩阵g[x][y]
bool y[MAXM]; //Y集合中点i访问标记
int link[MAXM]; //link[y]表示当前与y节点相邻的x节点

void init()
{
    int x,y;
    memset(g,0 ,sizeof (g));
    memset(link,-1 ,sizeof (link));
    ans = 0 ;
    scanf("%d%d%d" ,&n1,&n2,&m);
    for (int i = 1 ;i <= m;i++)
    {
        scanf("%d%d" ,&x,&y);
        g[x][y] = true ;
    }
}

bool find(int x) //是否存在X集合中节点x开始的增广路
{
    for (int i = 1 ;i <= n2;i++)
        if (g[x][i] && !y[i]) //如果节点i与x相邻并且未访问过
        {
            y[i] = true ;
            if (link[i] == -1 || find(link[i])) //如果找到一个未盖点i中或从与i相邻的节点出发有增广路
            {
                link[i] = x;
                return true ;
            }
        }
    return false ;
}

int main()
{
    init();
    /*for (int j = 1;j <= n2;j++)
        for (int i = 1;i <= n1;i++)
            if (g[i][j] && !link[j])
                link[j] = i;//贪心初始解优化*/
    for (int i = 1 ;i <= n1;i++)
    {
        memset(y,0 ,sizeof (y));
        if (find(i))
            ans++;
    }
    printf("%d/n" ,ans);
    return 0 ;
}<span> 
//bfs判断是否为二分图
</span>//0为白色，1为黑色   
bool bfs(int s, int n) {  
    queue<int> p;  
    p.push(s);  
    col[s] = 1;  
    while(!p.empty()) {  
        int from = p.front();  
        p.pop();  
        for(int i = 1; i <= n; i++) {  
            if(g[from][i] && col[i] == -1) {  
                p.push(i);  
                col[i] = !col[from];//染成不同的颜色   
            }  
            if(g[from][i] && col[from] == col[i])//颜色有相同，则不是二分图   
                return false;  
        }  
    }  
    return true;       
} 

//HDU2444
<pre name="code" class="cpp">#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 2005;

int head[N],link[N];
bool vis[N],col[N];
int cnt,n,m;

struct Edge
{
    int to;
    int next;
};

Edge edge[N*N];

void Init()
{
    cnt = 0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(col,0,sizeof(col));
}

void add(int u,int v)
{
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

bool Color(int u)
{
    for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!col[v])
        {
            col[v] = !col[u];
            if(!Color(v)) return false;
        }
        else if(col[v] == col[u])
            return false;
    }
    return true;
}

bool dfs(int u)
{
    for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
            if(link[v] == -1 || dfs(link[v]))
            {
                link[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int match()
{
    int ans = 0;
    memset(link,-1,sizeof(link));
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i)) ans++;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(n == 1)
        {
            puts("No");
            continue;
        }
        Init();
        while(m--)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
            add(v,u);
        }
        col[1] = 1;
        if(!Color(1))
        {
            puts("No");
            continue;
        }
        printf("%d\n",match()>>1);
    }
    return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/gg_gogoing/article/details/38943719